ディリクレ積分の証明2

今回は, 前回よりは真面目に, ディリクレ積分の証明を書いてみたいと思います.

まあ留数定理を使った解法なので, そこまで綺麗ではないのですが.
$$

まず, 以下を示します.

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x-\alpha }dx=\pi e^{i\alpha }$$

ただし, $\alpha$は$\mathrm{Im}(\alpha )>0$なる複素数です.

まず, 実軸を直径とした大きな半円の積分路を考えます. 上半平面あるようなものを${\mathrm{\Gamma }}_1$, 下半平面にあるものを${\mathrm{\Gamma }}_2$として, (実軸の向きに沿って回るような向きと定めます)
$$I_1={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{e^{iz}}{z-\alpha }dz,I_2={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\frac{e^{-iz}}{z-\alpha }dz$$
を考えると, どちらも円弧上での積分は$0$に収束するので,
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x-\alpha }dx=\frac{I_1-I_2}{2i}$$
となります.

ここで, 留数定理から, $\mathrm{Im}(\alpha )>0$のとき, $I_1=2\pi i{e}^{i\alpha },I_2=0$なので, 題意が示されました.
$$

上の結果において$\alpha \to 0$とすれば,
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\pi$$
を得ます.