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ディリクレ積分の証明2

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{I}[0]{\mathrm{I}} \newcommand{l}[0]{\ell} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}} \newcommand{p}[0]{\varphi} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}} \newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

今回は, 前回よりは真面目に, ディリクレ積分の証明を書いてみたいと思います.

まあ留数定理を使った解法なので, そこまで綺麗ではないのですが.
${}$

まず, 以下を示します.

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x-\a}\,dx=\pi e^{i\a}$$

ただし, $\a$$\Im(\a)>0$なる複素数です.

まず, 実軸を直径とした大きな半円の積分路を考えます. 上半平面あるようなものを$\Gamma_1$, 下半平面にあるものを$\Gamma_2$として, (実軸の向きに沿って回るような向きと定めます)
$$ I_1=\oint_{\Gamma_1}\frac{e^{iz}}{z-\a}\,dz,\space I_2=\oint_{\Gamma_2}\frac{e^{-iz}}{z-\a}\,dz$$
を考えると, どちらも円弧上での積分は$0$に収束するので,
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x-\a}\,dx=\frac{I_1-I_2}{2i}$$
となります.

ここで, 留数定理から, $\Im(\a)>0$のとき, $I_1=2\pi ie^{i\alpha},\ I_2=0$なので, 題意が示されました.
${}$

上の結果において$\a\to0$とすれば,
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=π$$
を得ます.

${}$

${}$

投稿日:2021129

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投稿者

東大理数B4です

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