$$\newcommand{a}[0]{\alpha}
\newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)}
\newcommand{b}[0]{\beta}
\newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}}
\newcommand{ds}[0]{\displaystyle}
\newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}}
\newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})}
\newcommand{g}[0]{\gamma}
\newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2}
\newcommand{I}[0]{\mathrm{I}}
\newcommand{l}[0]{\ell}
\newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}}
\newcommand{p}[0]{\varphi}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}}
\newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n}
\newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty}
\newcommand{t}[0]{\theta}
\newcommand{tc}[0]{\TextCenter}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
${}$
今回は, 前回よりは真面目に, ディリクレ積分の証明を書いてみたいと思います.
まあ留数定理を使った解法なので, そこまで綺麗ではないのですが.
${}$
まず, 以下を示します.
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x-\a}\,dx=\pi e^{i\a}$$
ただし, $\a$は$\Im(\a)>0$なる複素数です.
まず, 実軸を直径とした大きな半円の積分路を考えます. 上半平面あるようなものを$\Gamma_1$, 下半平面にあるものを$\Gamma_2$として, (実軸の向きに沿って回るような向きと定めます)
$$ I_1=\oint_{\Gamma_1}\frac{e^{iz}}{z-\a}\,dz,\space I_2=\oint_{\Gamma_2}\frac{e^{-iz}}{z-\a}\,dz$$
を考えると, どちらも円弧上での積分は$0$に収束するので,
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x-\a}\,dx=\frac{I_1-I_2}{2i}$$
となります.
ここで, 留数定理から, $\Im(\a)>0$のとき, $I_1=2\pi ie^{i\alpha},\ I_2=0$なので, 題意が示されました.
${}$
上の結果において$\a\to0$とすれば,
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=π$$
を得ます.
${}$
${}$