未解決の不定方程式
前提知識 : 三角数.
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問題
本記事では, 私が未だに解決することのできていない不定方程式を紹介します. 何か良い案の有る方がいらっしゃればご教授下さると幸いです.
問. 方程式$3m(m+1)=n(n+1)(n+2)$を充たす正の整数の対$(m,n)$を全て決定してください.
二項係数或いは三角数列$(t_i)_{i>0}=1,3,6,10,\ldots$を用いれば
$$
\begin{align}
\binom{m+1}{2}=\binom{n+2}{3}\quad{\rm i.e.}\quad t_m=t_1+t_2+\cdots+t_n
\end{align}
$$と表しなおすこともできます.
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解
OEIS に依れば, 解は
$$
\begin{align}
(m,n)\in\{(0,0),(1,1),(4,3),(15,8),(55,20),(119,34)\}
\end{align}
$$だそうです.
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