幾何の問題

202

PMC3のSLPから没問題が出たので公開した。コンテスト向きではないけど、良問ではあるし、教育的であることを意識したので解いて勉強になると思う。

難易度：JMO本選3程度？

三角形 $A B C$ の $B, C$ に対する傍心をそれぞれ $I_{B}, I_{C}$ とする。 $A$ を含まない弧 $B C$ 上に点 $K$ をとり、 $∠ A K B$ の二等分線と辺 $A B$ の交点を $P$ 、 $∠ A K C$ の二等分線と辺 $A C$ の交点を $Q$ とする。直線 $B C$ と $P Q$ の交点を $X$ 、 $A B$ と $I_{B} Q$ の交点を $Y$ 、 $A C$ と $I_{C} P$ の交点を $Z$ とするとき、 $3$ 点 $X, Y, Z$ は同一直線上にあることを示せ。

↓解答へ
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弧 $B A C$ 、 $B$ を含まない弧 $C A$ 、 $C$ を含まない弧 $A B$ の中点をそれぞれ $L, M, N$ とし、 $∠ B K C$ と辺 $B C$ の交点を $R$ とする。このとき、六角形 $L A C B M K$ , $L A B C N K$ へのパスカルの定理から、 $3$ 点の組 $(I_{B}, Q, R), (I_{C}, P, R)$ がそれぞれ同一直線上にあることが分かる。また、
$\begin{array}{r} \frac{B R}{R C} \cdot \frac{C Q}{Q A} \cdot \frac{A P}{P B} = \frac{K B}{K C} \cdot \frac{K C}{K A} \cdot \frac{K A}{K B} = 1 \end{array}$
より、チェバの定理の逆から $3$ 直線 $A R, B Q, C P$ は一点で交わる。従って、三角形 $A B C$ と $R Q P$ へのデザルグの定理より $3$ 点 $X, Y, Z$ は同一直線上にある。

ということで、射影幾何ってこんな感じで使うよ、みたいな問題でした。

投稿日：2021年1月30日

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投稿者

pepper_aobuta

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peppersの解説やら何やらかにやらを更新していきたい所存です。

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