幾何の問題
PMC3のSLPから没問題が出たので公開した。コンテスト向きではないけど、良問ではあるし、教育的であることを意識したので解いて勉強になると思う。
難易度：JMO本選3程度？
三角形$ABC$の$B,C$に対する傍心をそれぞれ$I_B,I_C$とする。$A$を含まない弧$BC$上に点$K$をとり、$\angle AKB$の二等分線と辺$AB$の交点を$P$、$\angle AKC$の二等分線と辺$AC$の交点を$Q$とする。直線$BC$と$PQ$の交点を$X$、$AB$と$I_BQ$の交点を$Y$、$AC$と$I_CP$の交点を$Z$とするとき、$3$点$X,Y,Z$は同一直線上にあることを示せ。
↓解答へ
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弧$BAC$、$B$を含まない弧$CA$、$C$を含まない弧$AB$の中点をそれぞれ$L,M,N$とし、$\angle BKC$と辺$BC$の交点を$R$とする。このとき、六角形$LACBMK$,$LABCNK$へのパスカルの定理から、$3$点の組$(I_B,Q,R),(I_C,P,R)$がそれぞれ同一直線上にあることが分かる。また、
\begin{align*}
\frac{BR}{RC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AP}{PB}=\frac{KB}{KC}\cdot\frac{KC}{KA}\cdot\frac{KA}{KB}=1
\end{align*}
より、チェバの定理の逆から$3$直線$AR,BQ,CP$は一点で交わる。従って、三角形$ABC$と$RQP$へのデザルグの定理より$3$点$X,Y,Z$は同一直線上にある。
ということで、射影幾何ってこんな感じで使うよ、みたいな問題でした。