Fibonacci数の和の整除性についてのある予想(解決?)

予想

H.O.さん https://mathlog.info/users/1104/articles
の削除された、記事にて、次の予想がありました。

これを証明しました。

$s$と$t$に関することで再確認と定義

再確認

$2|s|t$

定義

$$\beta=\frac{t}{s}$$

$$\gamma=\frac{\beta}{gcd(n,\beta)}$$

フィボナッチ数列に関することで再確認と定義

再確認

$$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \ \bar{ \varphi} =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
$$F_n=\frac{\varphi^n-\bar\varphi^n}{\varphi-\bar\varphi}$$

フィボナッチ数列の和に関することで再確認と定義

再確認

$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\sum_{k=0}^n\frac{\varphi^{tk}-\bar\varphi^{tk}}{\varphi-\bar\varphi}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}(\frac{φ^{t(n+1)}-1}{φ^{t}-1}-\frac{\barφ^{t(n+1)}-1}{\barφ^{t}-1} )$$
冪級数の和の公式より
$s$の場合も同様

定義

$i$を虚数単位とする。

多項式$h_n(x)$の定義

$$h_n(x)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$

多項式$h_n(x)$の性質

$$h_n(x^2)=\frac{x^{2(n+1)}-1}{x^2-1}=\frac{x^{n+1}}{x}\frac{x^{n+1}-x^{-(n+1)}}{x-x^{-1}}=x^n\frac{x^{n+1}-x^{-(n+1)}}{x-x^{-1}}$$

$P$,$Q$の定義

$$P=\sqrt{\varphi}$$
$$Q=i\sqrt{-\bar\varphi}$$

$P$,$Q$の性質

$$x^4-x^2-1=(x-P)(x+P)(x-Q)(x+Q)$$
$P$と$Q$は代数的整数
$PQ=i$
$Q=iP^{-1}$
$Q^{-1}=-iP$
$P^{-1}=-iQ$
$P^{-1}$と$Q^{-1}$は代数的整数

補助数列$f_n$,$f_n^{\prime}$の定義

$$f_n=P^n-P^{-n}$$
$$f_n^{\prime}=Q^n-Q^{-n}=i^nP^{-n}-(-1)^n i^nP^n$$

補助数列$f_n$,$f_n^{\prime}$の性質1

$$f_{2n}^{\prime}=-i^{2n}f_{2n}$$
$t$と$s$が偶数ため.この性質を用いることが可能。

補助数列$f_n$,$f_n^{\prime}$の性質2

$$f_{2n}=P^{2n}-P^{-2n}=P^{2n}-Q^{2n}(-i)^{2n}=\varphi^n-(-1)^n\bar\varphi^n$$

これまでの組み合わせ

$$h_n(P^{2t})=P^{tn}\frac{P^{t(n+1)}-P^{-t(n+1)}}{P^t-P^{-t}}=P^{tn}\frac{f_{t(n+1)}}{f_t} $$

$$h_n(Q^{2t})=Q^{tn}\frac{Q^{t(n+1)}-Q^{-t(n+1)}}{Q^t-Q^{-t}}=Q^{tn}\frac{f_{t(n+1)}^\prime}{f_t^\prime}=P^{-tn}(-i)^{tn}\frac{f_{t(n+1)}^\prime}{f_t^\prime}\\= P^{-tn}(-i)^{tn}\frac{-i^{t(n+1)}f_{t(n+1)}}{-i^{t}f_t}= P^{-tn}\frac{f_{t(n+1)}}{f_t}$$
$$h_n(P^{2t})-h_n(Q^{2t})=P^{tn}\frac{f_{t(n+1)}}{f_t} -P^{-tn}\frac{f_{t(n+1)}}{f_t}=\frac{f_{t(n+1)}f_{tn}}{f_t}$$

最大公約数、最小公倍数の定義と性質

記号の定義

$gcd$は最大公約数,$Lcm$は最小公倍数

性質1

$$AB=gcd(A,B)Lcm(A,B)$$
証明は下記ページ参照
https://mathtrain.jp/abequalgl

性質2

$$gcd(hm,hn)=h \ gcd(m,n)$$

性質3

$$gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}$$
この性質はいろいろ記事があるので、
googleにて 「フィボナッチ　最大公約数」で検索よろしくおねがいします。

性質4

$$Lcm(F_n,F_m)|F_{nmh}$$
$F_{nmh}$は$F_n$と$F_m$の公倍数より、最小公倍数の倍数である。

性質5

$$gcd(a,gcd(b,c))=gcd(gcd(a,b),c)$$
$$gcd(n+1,n)=1$$

多項式の最大公約元と最小公倍元の定義と性質

多項式の最大公約元と最小公倍元の定義

整数と同じ記号$gcd$と$Lcm$を用いる。

調べる多項式の定義

$\zeta_n$を$1$の原始$n$乗根とする。
$$q_n(x,y)=x^n-y^n$$

$q_n(x,y)$の性質

性質１

$$q_n(x,y)= \prod_{k=0}^{n-1}(x-\zeta_n^ky)$$
$y$を定数と見て、次数$n$の多項式は重複含め$n$個根を持つため。
$$\frac{q_{na}(x,y)}{q_n(x,y)}=\frac{x^{na}-x^{na}}{x^n-y^n}=\sum_{k=0}^{a-1}x^{nk}y^{n(a-1-k)}$$のため
$$q_n(x,y)|q_{na}(x,y)$$

性質２

$$gcd(q_n(x,y),q_m(x,y))=q_{gcd(n,m)}(x,y)$$

性質３

$$Lcm(q_n(x,y),q_m(x,y))|q_{nmh}$$
$q_{nmh}$は$q_n$と$q_m$の公倍元より、最小公倍元の倍元である。
この式から整数係数多項式をひねりだす。

性質４

$$q_n(x,y)q_m(x,y)=Lcm(q_n(x,y),q_m(x,y))\ gcd(q_n(x,y),q_m(x,y))$$

これまでの組み合わせ2

$$q_n(x,y)\vert_{x=P,y=P^{-1}}=q_n(P,P^{-1})=P^n-P^{-n}=f_n $$

第１段階

$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}(\frac{φ^{t(n+1)}-1}{φ^{t}-1}-\frac{\barφ^{t(n+1)}-1}{\barφ^{t}-1})$$
$h_n$の定義を用いて。
$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}(h_n(\varphi^t)-h_n(\barφ^{t}))$$
$P$と$Q$の定義より
$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}(h_n(P^{2t})-h_n(Q^{2t}))$$
これまでの組み合わせを用いて
$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}\frac{f_{t(n+1)}f_{tn}}{f_t}$$
これまでの組み合わせ2を用いて,
$$\sum_{k=0}^nF_{tk}=\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}\frac{q_{t(n+1)}(x,y)q_{tn}(x,y)}{q_t(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

$s$の場合も同様。

第２段階

第１段階を用いて。
$$\alpha=\frac{\sum_{k=0}^nF_{tk}}{\sum_{k=0}^nF_{sk}}=$$
$$\frac{\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}\frac{q_{t(n+1)}(x,y)q_{tn}(x,y)}{q_t(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}}{\frac{1}{\varphi-\bar\varphi}\frac{q_{s(n+1)}(x,y)q_{sn}(x,y)}{q_s(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}}=$$
$$\frac{q_{t(n+1)}(x,y)q_{tn}(x,y)q_s(x,y)}{q_{s(n+1)}(x,y)q_{sn}(x,y)q_t(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$
$\beta$の定義を用いる
$$\alpha= \frac{q_{s\beta(n+1)}(x,y)q_{s\beta n}(x,y)q_s(x,y)}{q_{s(n+1)}(x,y)q_{sn}(x,y)q_{s\beta}(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

多項式の最大公約元と最小公倍元の性質４を$q_{sn}$と$q_{s\beta}$に用いる。
$$\alpha= \frac{q_{s\beta(n+1)}(x,y)q_{s\beta n}(x,y)q_s(x,y)}{q_{s(n+1)}(x,y)Lcm(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))\ gcd(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

多項式の最大公約元と最小公倍元の性質２と性質３
及び最大公約数、最小公倍数の性質２を用いる。
$$\alpha=\frac{q_{s\beta n}(x,y)}{Lcm(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}} \frac{q_{s\beta(n+1)}(x,y)q_s(x,y)}{q_{s(n+1)}(x,y)q_{s\ gcd(n,\beta)}(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$
$\gamma$の定義と多項式の最大公約元と最小公倍元の性質４を$q_{s(n+1)}$と$q_{s\ gcd(n,\beta)}$に用いる。
$$\alpha=\frac{q_{s\beta n}(x,y)}{Lcm(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}} \frac{q_{s\gamma \ gcd(n,\beta)(n+1)}(x,y)q_s(x,y)}{Lcm(q_{s(n+1)}(x,y),q_{s\ gcd(n,\beta)}(x,y))\ gcd(q_{s(n+1)}(x,y),q_{s\ gcd(n,\beta)}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

多項式の最大公約元と最小公倍元の性質２と性質３
及び最大公約数、最小公倍数の性質２を用いる。
$$\alpha=\frac{q_{s\beta n}(x,y)}{Lcm(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}} \frac{q_{s\gamma \ gcd(n,\beta)(n+1)}(x,y)q_s(x,y)}{Lcm(q_{s(n+1)}(x,y),q_{s\ gcd(n,\beta)}(x,y))\ q_{sgcd(n+1,gcd(n,\beta))}(x,y)}\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

$$gcd(n+1,gcd(n,\beta))=gcd(gcd(n+1,n),\beta)=1$$より
$$\alpha=\frac{q_{s\beta n}(x,y)}{Lcm(q_{sn}(x,y),q_{s\beta}(x,y))}\vert_{x=P,y=P^{-1}} \frac{q_{s\gamma \ gcd(n,\beta)(n+1)}(x,y)}{Lcm(q_{s(n+1)}(x,y),q_{s\ gcd(n,\beta)}(x,y)\ }\vert_{x=P,y=P^{-1}}$$

$Lcm$の性質により右辺は整数係数多項式に代数的整数を代入した数つまり代数的整数である。

証明完了！

のはず、間違え、ミス等ありましたら。コメントよろしくお願いします。

今後の課題

$$U(x)をU(0)=0である多項式とする。$$
$$ \sum_{k=1}^nU(F_{sk}) ∣\sum_{k=1}^nU(F_{tk}) $$である$U(x)$はどのようなものがあるか、
あるとしたら$s$と$t$にはどのような条件が必要か？
この記事では$$U(x)=x$$の場合を証明しました。

結びに代えて

長文を読んで頂き、ありがとうございました。