2008JMO本選5番を位相幾何の言葉を使って解く

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初めに

2008JMO本選の問5を位相幾何を使って解きます.位相幾何の言葉を使うと言っても,登場する概念は集積点のみなので、極限を知っていれば大丈夫です.

記法

$lim_{n}$ は $lim_{n \to \infty}$ の略
$X, Y \subset Q に対し, X + Y = {x + y | x \in X, y \in Y}$ とする.
$A = {\frac{1}{n} | n \in Z - {0}}, B_{0} = Z, B_{n + 1} = B_{n} + A$ と再帰的に $B_{i}$ を定める.
$X \subset Q$ に対し, $X^{'}$ を $X$ の( $Q$ 内での)集積点全体の集合とする.すなわち, $X^{'} = {x \in Q | \exists (x_{n}) \in X^{N}, \forall n, x_{n} \neq x かつ lim_{n} x_{n} = x}$ とする.

解法

$B_{n}^{'} = B_{n - 1}$ . ただし、 $B_{- 1} = \emptyset$ とする.

$\supset$ は $b \in B_{n - 1}$ に対し, 数列 $(b + \frac{1}{n + 1})_{n \in N}$ を考えればよい.
$\subset$ を $n$ の数学的帰納法で示す. $n = 0$ は自明. $n$ の時正しいと仮定する. $b^{'} \in B_{n + 1}^{'}$ を任意に取ると, 定義より $(b_{k}) \in B_{n}^{N}, (a_{k}) \in A^{N}$ が存在し, $b_{k} + a_{k} \neq b$ かつ $lim_{k} b_{k} + a_{k} = b$ となる.
$1.$ $a \in A$ が存在し, 無限個の $k$ に対し, $a_{k} = a$ の時
必要なら部分列をとり, 全ての $k$ に対し $a_{k} = a$ としてよい. $b_{k} \neq b - a$ , $lim_{k} b_{k} = b - a$ より $b - a \in B_{n}^{'} \subset B_{n - 1}, b = (b - a) + a \in B_{n}$ .
$2.$ 任意の $a \in A$ に対し, $a_{k} = a$ となる $k$ が有限個の時
$lim_{k} a_{k} = 0$ より, $lim_{k} b_{k} = b .$ よって, $b \in B_{n}^{'} \cup B_{n} = B_{n} .$