有限生成可換モノイドは有限表示

モノイド $M$ が有限生成であるとは、自然数 $r$ とモノイドの射 $f:{\mathbb{N}}^r\to M$ であって $f$ が全射となるようなものが存在することをいう。また、モノイド $M$ が有限表示であるとは、自然数 $s$, $r$ とモノイドの射 $g$, $h:{\mathbb{N}}^s\to {\mathbb{N}}^r$ と $f:{\mathbb{N}}^r\to M$ であって $f$ が $g$ と $h$ のコイコライザとなるものが存在することをいう。

まず、$M$ をコイコライザとして表すことを考える。$F={\mathbb{N}}^r{\times }_M{\mathbb{N}}^r$ をファイバー積とし、${\mathrm{pr}}_1$, ${\mathrm{pr}}_2$ をそれぞれ第 $1$ 成分, 第 $2$ 成分を充てる射影 $F\to {\mathbb{N}}^r$ とすると、${\mathrm{pr}}_1$ と ${\mathrm{pr}}_2$ のコイコライザは $f$ と一致する。実際、$f$ は集合の圏において ${\mathrm{pr}}_1$ と ${\mathrm{pr}}_2$ のコイコライザであるため、モノイドの射 $k:{\mathbb{N}}^r\to X$ であって $k\circ {\mathrm{pr}}_1=k\circ {\mathrm{pr}}_2$ なるものについて、$k=k^{\prime }\circ f$ なる集合の射 $k^{\prime }:M\to X$ が存在するが、$f$ は全射であるため、$k^{\prime }$ はモノイドの射である。よって $f$ は ${\mathrm{pr}}_1$ と ${\mathrm{pr}}_2$ のコイコライザとなる。

$F$ の有限生成部分モノイド $N$ について、${\mathrm{pr}}_{\bullet }$ の $N$ への制限を $t_{N,\bullet }$ と表記し、$t_{N,\bullet }$ のコイコライザを $f_N:{\mathbb{N}}^r\to C_N$ とおく。このとき、モノイド $X$ についてモノイド環 $\mathbb{Z}[X]$ を充てる関手は左随伴を持つため、特にコイコライザを保存する。このとき、$\mathbb{Z}[{\mathrm{pr}}_{\bullet }]:\mathbb{Z}[F]\to \mathbb{Z}[{\mathbb{N}}^r]$ のコイコライザは $\mathbb{Z}[f]$ に一致する。ここで、$\mathbb{Z}[{\mathbb{N}}^r]$ は $r$ 変数 $\mathbb{Z}$-係数多項式環と同型であるため、これは Noether 環である。したがって $\mathbb{Z}[f]$ の核は有限生成イデアルである。またこの核は $x\in \mathbb{Z}[F]$ について $\mathbb{Z}[{\mathrm{pr}}_1](x)-\mathbb{Z}[{\mathrm{pr}}_2](x)$ として表される元により生成されるため、有限個の $\mathbb{Z}[F]$ の元 $x_1,\dots ,x_d$ であって、$\mathbb{Z}[{\mathrm{pr}}_1](x_{\bullet })-\mathbb{Z}[{\mathrm{pr}}_2](x_{\bullet })$ 全体が $\mathbb{Z}[f]$ の核を生成するようなものを取れる。このとき、$x_{\bullet }$ に登場する $F$ の元は高々有限個である。これらの元で生成される $F$ の有限生成部分モノイドを $N$ とおくと、$x\in N$ について $\mathbb{Z}[t_{N,1}](x)-\mathbb{Z}[t_{N,2}](x)$ として表される元により生成されるイデアルは $\mathbb{Z}[f]$ の核と一致するため、コイコライザから誘導される射 $j:C_N\to M$ について $\mathbb{Z}[C_N]\to \mathbb{Z}[M]$ は同型である。従って $j$ は単射である。$f$ は全射であったため、$j$ は全射である。よって $j$ は同型である。

$N$ は有限生成であったため、ある自然数 $s$ とモノイドの射 $v:{\mathbb{N}}^s\to N$ であって $v$ が全射であるようなものが存在する。このとき $g=t_{N,1}\circ v$, $h=t_{N,2}\circ v$ のコイコライザは $t_{N,1}$ と $t_{N,2}$ のコイコライザと一致するため、$M$ と同型である。よって $M$ は有限生成である。

よって、有限生成モノイドは有限表示であることが示された。