漸近線フローチャート

漸近線フローチャート

漸近線の定義

漸近線$y=ax+b,x=k$の求め方

漸近線フローチャート

$${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\{\begin{array}{l}b\stackrel{}{\to }漸近線y=b\\ \\ 発散\to {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\{\begin{array}{l}発散\stackrel{}{\to }漸近線なし\\ \\ a\to {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{f(x)-ax\}=\{\begin{array}{l}発散\stackrel{}{\to }漸近線なし\\ \\ b\stackrel{}{\to }漸近線y=ax+b\end{array}}\end{array}}\end{array}}$$

備考

• $x\to -\mathrm{\infty }$のときも同様。

• 上記のフローチャートを経なくても，定義の式に当てはまる$y=ax+b$が見つかれば，その方面でさらに探す必要はない。例えば，$y=x-6+\frac{1}{x-1}$において，

$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\{y-(x-6)\}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}=0$$

より，$y=x-6$が漸近線であることがわかる。

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{f(x)-(ax+b)\}=0}$のとき，

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}}& & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)-(ax+b)+ax+b}{x}}\\ & & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{(f(x)-(ax+b))\cdot \frac{1}{x}+a+\frac{b}{x}\}}\\ & & =0\times 0+a+0\\ & & =a\end{array}$$

• ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}}$が収束するとき，ロピタルの定理より，

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)$$

が成り立つので，${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}}$の代わりに${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)}$を調べてもよい。

• 漸近線$x=k$は関数$f(x)$が定義されていない$x$の値の近傍を調べればよい。