$$\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0 または \lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$$
が成立するとき，直線 $y=ax+b$ は漸近線である。
$$\lim_{x\to k+0}f(x)=\infty,\,\lim_{x\to k+0}f(x)=-\infty,\,\lim_{x\to k-0}f(x)=\infty,\,\lim_{x\to k-0}f(x)=-\infty$$
のいずれかが成立するとき，直線 $x=k$ は漸近線である。
$$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}f(x)=\begin{cases}b\xrightarrow{\hspace{9.2cm}} 漸近線 y=b\\ \\発散\to \displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\frac{f(x)}x= \begin{cases}発散\xrightarrow{\hspace{4.9cm}} 漸近線なし\\ \\ a\to\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\{f(x)-ax\}= \begin{cases}発散\xrightarrow{\hspace{.8cm}} 漸近線なし\\ \\b\xrightarrow{\hspace{1.35cm}} 漸近線 y=ax+b \end{cases} \end{cases} \end{cases}$$
$x\to-\infty$のときも同様。
上記のフローチャートを経なくても，定義の式に当てはまる$y=ax+b$が見つかれば，その方面でさらに探す必要はない。例えば，$y=x-6+\frac{1}{x-1}$において，
$$\lim_{x\to\pm\infty}\left\{y-(x-6)\right\}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x-1}=0$$
より，$y=x-6$が漸近線であることがわかる。
$$\begin{eqnarray} \displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\frac{f(x)}x &&=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\frac{f(x)-(ax+b)+ax+b}x\\ &&=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\left\{(f(x)-(ax+b))\cdot\frac1x+a+\frac{b}x\right\}\\ &&=0\times 0+a+0\\ &&=a\end{eqnarray}$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{(x)'}=\lim_{x\to\infty}f'(x)$$
が成り立つので，$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}\frac{f(x)}x$の代わりに$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}f'(x)$を調べてもよい。