k-リュカ数の四捨五入表示についての考察(その2)

はじめに

この記事では 前回の記事 に続いて$k$-リュカ数の四捨五入表示について私なりに考察した結果を紹介します。
今回の考察では次のような結果が得られました。

ただし$\a_k$は方程式$f_k(x)=x^k-\sum^{k-1}_{j=0}x^j=0$の唯一の正の実数解とした。
前回 では$O(k^3\log k)$であったところが$O(k^3)$になったので多少ましになったと思います。

方針

今回は 前回の記事 での考察を元にまず以下の結果を示します。

これがわかれば$k$-リュカ数$\L$の一般項から
$\dis |L^{(k)}_{(2k+1)n}-\a_k^{(2k+1)n}|=\left|\sum^{k-1}_{j=1}\b_j^{(2k+1)n}\right|\leq\sum^{k-1}_{j=1}\frac{1}{(5-4\cos(\frac{2\pi j}{k}))^n}$
が成り立つのであとはこれが$\frac12$未満になるためには$n$が$n_0'=O(k^2)$以上であれば十分であることを示して命題1を得ます。

$\arg\b_j$の評価

まず$\arg\b_j$の取りうる範囲について考えてみます。$\b$を方程式$\dis f_k(x)=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}=0$の解とすると
$\dis\b^k=\frac{1}{2-\b}$
が成り立つので$\b=r(\cos\t+i\sin\t)$と極座標表示したとき上式は
$\dis r^k(\cos k\t+i\sin k\t)=\frac{2-r\cos\t+ir\sin\t}{(2-r\cos\t)^2+r^2\cos^2\t}$
となり、この両辺の$(虚部)/(実部)$を取ると
$\dis\tan k\t=\frac{r\sin\t}{2-r\cos\t}$
これを$r$について書き下すと極方程式
$\dis r=\frac{2\tan k\t}{\sin\t+\cos\t\tan k\t}=\frac{2\sin k\t}{\sin(k+1)\t}$
が得られる。この方程式から$\t$の取りうる範囲を考えてみましょう。

いま$r$は$\t$についての周期$2\pi$および偶関数(グラフが$x$軸について対称)なので$0\leq\t\leq\pi$で考えることにします。

さてこの補題と$r=|\b|>0$であることから$\t$の取りうる範囲は以下のように評価できます。

ちなみに増減表におまけとして示したように$r<1$という条件から
$\dis\frac{2\pi j}{k}<\arg\b_j<\frac{\pi(2j+\frac12)}{k+\frac12}$
とも評価できる。

$n_0$の評価

さて 前回の記事 と同じように
$\dis R_j=\sqrt[2k+1]{\frac{1}{5-4\cos(\frac{2\pi j}{k})}}$
とおくと
$\dis \frac{1}{4|\b_j|}(|\b_j|^2+4-\frac{1}{|\b_j|^{2k}})=\cos\t_j<\cos\frac{2\pi j}{k}=\frac54-\frac{1}{4R_j^{2k+1}}<\frac{1}{4R_j}(R_j^2+4-\frac{1}{R_j^{2k}})$
つまり$|\b_j|< R_j$が成り立ち(これは$\frac{k}2< j< k$においても成り立つ)、
$j=\frac{k}2$のときは$\arg\b_j=\pi$なので同様にして$|\b_j|< R_j$が成り立つので以上より命題2を得る。

命題2を得たいま
$\dis |L^{(k)}_{(2k+1)n}-\a_k^{(2k+1)n}|=\left|\sum^{k-1}_{j=0}\b_j^{(2k+1)n}\right|\leq\sum^{k-1}_{j=1}\frac{1}{(5-4\cos(\frac{2\pi j}{k}))^n}$
が成り立つので次はこの右辺を評価していこう。

以上より以下の主張を得る。

ちなみに$\dis\pi^2(1-\frac{\pi^2}{48})=7.840\ldots$なのでざっくり$\dis\frac{k^3}{3}\leq n$くらいで成り立つことになる。

オーダーの評価

ここで$R_j$の取り方をもっとよくしたらオーダーが変わらないか考えてみよう。
つまるところ$\dis\cos(\frac{2\pi j}{k})=\frac{1}{4R_j}(R_j^2+4-\frac1{R_j^{2k}})$が成り立つようにとってみる。
このとき
$\dis|\L-\a_k^n|<\sum^{k-1}_{j=1}R_j^n<\frac12$
と評価できるとすると、少なくとも$\dis　R_1^{n}<\frac12$つまり$\dis\frac{\log 2}{-\log R_1}< n$でなくてはならないので$R_1=r_k$とおいて$\log r_k$のオーダーを考えてみよう。

まず$r_k$の取り方から
$\dis\cos(\frac{2\pi}{k})=\frac{1}{4r_k}(r_k^2+4-\frac1{r_k^{2k}})$
であって
$\dis\log\cos(\frac{2\pi}{k})=-\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{k}\right)^2+O(\frac1{k^4})$
$\dis\log(\frac{1}{4}(r_k^2+4-\frac1{r_k^{2k}}))=\frac{1}{4}(r_k^2-\frac1{r_k^{2k}})+O((r_k^2-\frac1{r_k^{2k}})^2)$
$\dis r_k^2-\frac1{r_k^{2k}}=e^{2\log r_k}-e^{-2k\log r_k}=2(k+1)\log r_k+O((k\log r_k)^2)$
と評価できるので
$\dis -\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{k}\right)^2+O(\frac1{k^4})=\frac{k-1}2\log r_k+O((k\log r_k)^2)$
つまり$\log r_k$は$\dis\frac{1}{k^3}$のオーダーを持っており、この一連の手法では$n_k=O(k^3)$が最良の評価であることがわかる。