自己紹介のついでに軽い級数

こんにちは. 汚珍珍です. mathlogのアカウントを作ったので, タイトルの通り, 自己紹介をして級数を解いていきます.
自己紹介ですが, 僕の名前は汚珍珍です. 高1です.
次に, 級数です.
https://twitter.com/sounansya_/status/1350377515844472835?s=19
の級数を計算しようと思ったのですが, 難しそうだったので, とりあえず, $\log (2n+1)$が無い級数を考えました.
${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(2n+1)n{!}^2{2}^{2n}}=\frac{\pi }{2}}$
です.
まず, $C$を, 原点からの距離が$1$の円で, 積分路としては半時計回りのものを考えます. すると, 留数定理から,
$\begin{array}{r}\frac{(2n)!}{n{!}^2}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{1}{z}(\frac{1}{z}+z{)}^{2n}dz\end{array}$
です. これから,
$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(2n+1)n{!}^2{2}^{2n}}& =& \frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{\int }_C\frac{2z}{z(1+z^2)}(\frac{1+z^2}{2z}x{)}^{2n+1}dz(x=1)\\ & =& \frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1{\int }_C\frac{1}{z}(\frac{1+z^2}{2z}x{)}^{2n}dzdx\\ & =& \frac{1}{2\pi i}{\int }_0^1{\int }_C\frac{1}{z\{1-(\frac{1+z^2}{2z}x{)}^2\}}dzdx\\ & =& {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi }{2}\end{array}$
よって, 示されました. (4つめの変形は留数定理です. 分母を$0$にする$z$で$C$に囲まれた円盤上に有るものは$0<x<1$で常に2つで常に同じかたちの$x$の関数として表されるのでこの変形ができます. )
ちなみに, このやり方で元の級数をやろうとすると, 変数が一つ増えます. (そもそもそれで出来るか分かりませんが) できるとしても, まあまあ計算が面倒になると思います.