自己紹介のついでに軽い級数

こんにちは. 汚珍珍です. mathlogのアカウントを作ったので, タイトルの通り, 自己紹介をして級数を解いていきます.
自己紹介ですが, 僕の名前は汚珍珍です. 高1です.
次に, 級数です.
https://twitter.com/sounansya_/status/1350377515844472835?s=19
の級数を計算しようと思ったのですが, 難しそうだったので, とりあえず, $\log(2n+1)$が無い級数を考えました.
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(2n+1)n!^{2} 2^{2n}} = \frac{\pi}{2}$
です.
まず, $C$を, 原点からの距離が$1$の円で, 積分路としては半時計回りのものを考えます. すると, 留数定理から,
$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!^{2}} = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{1}{z} (\frac{1}{z} + z)^{2n} dz \end{eqnarray*}$
です. これから,
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(2n+1)n!^{2} 2^{2n}} &=& \frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n + 1} \int_{C} \frac{2z}{z(1 + z^{2})} (\frac{1 + z^{2}}{2z} x)^{2n + 1} dz (x = 1) \\ &=& \frac{1}{2\pi i}\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{1}\int_{C} \frac{1}{z}(\frac{1 + z^{2}}{2z} x)^{2n} dzdx \\ &=& \frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{1}\int_{C} \frac{1}{z\{1 - (\frac{1 + z^{2}}{2z} x)^{2}\}} dzdx \\ &=& \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
よって, 示されました. (4つめの変形は留数定理です. 分母を$0$にする$z$で$C$に囲まれた円盤上に有るものは$0< x<1$で常に2つで常に同じかたちの$x$の関数として表されるのでこの変形ができます. )
ちなみに, このやり方で元の級数をやろうとすると, 変数が一つ増えます. (そもそもそれで出来るか分かりませんが) できるとしても, まあまあ計算が面倒になると思います.