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高校数学解説
文献あり

自作問題の解答: 3次曲線と2点で接する円の軌跡

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問題: 018

曲線: y=x3x と2点で接する円の中心の軌跡を図示せよ。

Twitterに投稿した自作問題です。

解答
(xp)2+(yq)2=r2y=x3xが2点で接するとき、その交点のx座標をt,uとすると、方程式(xp)2+(x3xq)2r2=0x=t,uを重解に持つから、
(xp)2+(x3xq)2r2=(xt)2(xu)2(x2+lx+m)
なる恒等式が得られる。展開して係数を比較すれば、
\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} t^2u^2m&=p^2+q^2-r^2 \\ t^2u^2l-2mtu(t+u)&=-2p+2q \\ t^2u^2-2ltu(t+u)+m(t^2+u^2+4tu)&=2 \\ -2tu(t+u)+l(t^2+u^2+4tu)-2m(t+u)&=-2q \\ (t^2+u^2+4tu)-2l(t+u)+m&=-2 \\ -2(t+u)+l&=0 \end{aligned} \right. \end{aligned}
を得る。ここでt+u=α, tu=βとすると、t,uは相異なる実数だからα24β>0。第5,6式よりl=2α, m=3α22β2であり、第3式より
3α42α23β24β=23(α213)23(β+23)2=1
α,βが満たすべき条件である。ここでα213=13cosθ, β+23=13tanθとおける。α20より、13cosθ+130π2<θ<π2
またα24β>0より
(13cosθ+13)4(13tanθ23)>04tanθ1cosθ<33
だから4tanλ1cosλ=33なるπ2<λ<π2を用いてπ2<θ<λ
p,qについて、第4,5式を整理して
p=α(2α2(3β+2))=±13cosθ+13(sinθ(1sinθ)cos2θ)=±13cosθ+13(1cosθtanθtan2θ)q=α((3β+2)α2(3β+2)β(3β+2))=±13cosθ+13(23sinθ3cosθ+23)=±13cosθ+13(231cosθ3tanθ+23)
ここで、θπ2+0の極限を考えると、p, q±である。続いてθλ0の極限を考える。
1cosλ=4tanλ331+tan2λ=(4tanλ33)2tanλ=12±1453
ここでtanλ=14(1cosλ+33)>334から符号は正が適する。また1cosθ=33+44215が従う。よって、
limθλ0p=±22515(22+914)2+14limθλ0q=±2315(4+14)2+14
一方π2<θ<λの範囲において、αが正(負)のとき、pは単調に増加(減少)し、qは単調に減少(増加)する。よって求める軌跡は下図の赤線部。
Fig_018.1 Fig_018.1
ネタバレ含むコメント解はごちゃっとしたパラメータでしか表現されないのはちょっと残念でした。きれいな表式が得られた方はご一報いただけると幸いです。
この軌跡は3次関数の極値に接するように終点を迎えると想像していたので、こんな中途半端なところで途切れるのはかなり意外でした。
p,qが単調に増加・減少することはきちんと示すべきなのですが、あまりに計算がめんどくさく、グラフを描画させて確認するに留めてしまったのは解答を作るうえでの反省点です。

参考文献

投稿日:2021131
OptHub AI Competition

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Hurdia
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趣味勢。 考えたことをためて置いたり、自分で作成した問題をまとめておく。

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