積分解説2 ∫[0,∞](logxlog(xcothx)/x^2)dx

この記事では, 以下の積分を解説しようと思います.

(証明)

まず, 以下の積分を考えてみます.
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x\coth x)}{x^2}dx$$

$\coth$の無限乗積展開を利用します.

$$\sinh \pi x=\pi x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{n^2}),\cosh x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{(n-\frac{1}{2}{)}^2})$$
より,
$$\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\log (1+\frac{x^2}{n^2})$$
です. これを利用すると,

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x\coth x)}{x^2}dx& =& \frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)\frac{dx}{x^2}\\ & =& \frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log (1+\frac{x^2}{n^2})\frac{dx}{x^2}\end{array}$$

ここで,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log (1+\frac{x^2}{n^2})\frac{dx}{x^2}& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{1}{n}}\frac{2y}{1+x^2{y}^2}dydx\\ & =& {\int }_0^{\frac{1}{n}}2y{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy\\ & =& \frac{\pi }{n}\end{array}$$
ですので,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log (x\coth x)}{x^2}dx& =& 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\\ & =& 2\log 2\end{array}$$
とわかります.
$$

ここに$\log x$がついても, 同様に解くことができます. 即ち,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x\log (x\coth x)}{x^2}dx\\ & =& \frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\log \frac{\pi }{2}+\log x)\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)\frac{dx}{x^2}\end{array}$$
として,
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log x\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)\frac{dx}{x^2}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log x\log (1+\frac{x^2}{n^2})\frac{dx}{x^2}\end{array}$$

ここで,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log x\log (1+\frac{x^2}{n^2})\frac{dx}{x^2}& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{1}{n}}\frac{2y\log x}{1+x^2{y}^2}dydx\\ & =& {\int }_0^{\frac{1}{n}}2y{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{1+x^2{y}^2}dxdy\\ & =& 2{\int }_0^{\frac{1}{n}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x-\log y}{1+x^2}dxdy\\ & =& -\pi {\int }_0^{\frac{1}{n}}\log ydy\\ & =& \frac{1+\log n}{n}\pi \end{array}$$
ですので, ( ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{1+x^2}dx=0}$を利用しました )

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log x\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)\frac{dx}{x^2}=\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1+\log n}{n}$$

これの第2項の和は こちら のようにして求められるので,

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log x\log (\frac{\pi }{2}x\coth \frac{\pi }{2}x)\frac{dx}{x^2}=\pi \log 2(1+\frac{1}{2}\log 2-\gamma )$$
となります.
$$

以上より,
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x\log (x\coth x)}{x^2}dx\\ & =& 2\log 2\log \frac{\pi }{2}+\frac{2}{\pi }\cdot \pi \log 2(1+\frac{1}{2}\log 2-\gamma )\\ & =& 2\log 2(1-\gamma +\log \frac{\pi }{\sqrt{2}})\end{array}$$
と, 求めることができました.
$$

ここまで読んで下さった方, ありがとうございました.