積分解説2 ∫[0,∞](logxlog(xcothx)/x^2)dx
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この記事では, 以下の積分を解説しようと思います.
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(証明)
まず, 以下の積分を考えてみます.
$$\int_0^\infty\frac{\log(x\coth x)}{x^2}\,dx$$
$\coth$の無限乗積展開を利用します.
$$\sinh\pi x=\pi x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right),\space\cosh x=\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-\frac12)^2}\right)$$
より,
$$\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)=\sumn{1}(-1)^{n-1}\log\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)$$
です. これを利用すると,
$$\beq \int_0^\infty\frac{\log(x\coth x)}{x^2}\,dx&=&\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)\frac{dx}{x^2}\\[5pt] &=&\frac{2}{\pi}\sumn{1}(-1)^{n-1}\int_0^\infty\log\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\frac{dx}{x^2} \eeq$$
ここで,
$$\beq
\int_0^\infty\log\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\frac{dx}{x^2}&=&\int_0^\infty\int_0^{\frac1n}\frac{2y}{1+x^2y^2}\,dydx\\[5pt]
&=&\int_0^{\frac1n}2y\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2y^2}\,dxdy\\[5pt]
&=&\frac{π}{n}
\eeq$$
ですので,
$$\beq
\int_0^\infty\frac{\log(x\coth x)}{x^2}\,dx&=&2\sumn{1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\\[5pt]
&=&2\log2
\eeq$$
とわかります.
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ここに$\log x$がついても, 同様に解くことができます. 即ち,
$$\beq
&&\int_0^\infty\frac{\log x\log(x\coth x)}{x^2}\,dx\\[5pt]
&=&\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\left(\log\frac{\pi}{2}+\log x\right)\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)\frac{dx}{x^2}
\eeq$$
として,
$$\beq
&&\int_0^\infty\log x\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)\frac{dx}{x^2}\\[5pt]
&=&\sumn{1}(-1)^{n-1}\int_0^\infty\log x\log\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\frac{dx}{x^2}
\eeq$$
ここで,
$$\beq
\int_0^\infty\log x\log\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)\frac{dx}{x^2}&=&\int_0^\infty\int_0^{\frac1n}\frac{2y\log x}{1+x^2y^2}\,dydx\\[5pt]
&=&\int_0^{\frac1n}2y\int_0^\infty\frac{\log x}{1+x^2y^2}\,dxdy\\[5pt]
&=&2\int_0^{\frac1n}\int_0^\infty\frac{\log x-\log y}{1+x^2}\,dxdy\\[5pt]
&=&-\pi\int_0^{\frac1n}\log y\,dy\\[5pt]
&=&\frac{1+\log n}{n}\pi
\eeq$$
ですので, ( $\ds\int_0^\infty\frac{\log x}{1+x^2}\,dx=0$を利用しました )
$$ \int_0^\infty\log x\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)\frac{dx}{x^2}=\pi\sumn{1}(-1)^{n-1}\frac{1+\log n}{n} $$
これの第2項の和は こちら のようにして求められるので,
$$
\int_0^\infty\log x\log\left(\frac{\pi}2x\coth\frac{\pi}{2}x\right)\frac{dx}{x^2}=\pi\log2\left(1+\frac12\log2-\gamma\right)
$$
となります.
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以上より,
$$\beq
&&\int_0^\infty\frac{\log x\log(x\coth x)}{x^2}\,dx\\[5pt]
&=&2\log2\log\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\cdot\pi\log2\left(1+\frac12\log2-\gamma\right)\\[5pt]
&=&2\log2\left(1-\gamma+\log\frac{π}{\sqrt{2}}\right)
\eeq$$
と, 求めることができました.
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ここまで読んで下さった方, ありがとうございました.
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