複素解析：正則関数のL^p収束極限も正則関数
この記事では、以下の定理を証明する。
$\Omega \subset \mathbb{C}$を領域とし、$1 \leq p < +\infty$とする。$\Omega$上の正則関数の列$\{f_i\}_{i \in \mathbb{N}}$と$\Omega$上の(複素数値)可測関数$f$が
$$\lim_{i \to +\infty}\|f_i - f\|_{L^p(\Omega)} = 0$$
を満たすとする。ここで、$\|u\|_{L^p(\Omega)} = \left(\int_\Omega |u|^p \right)^{\frac{1}{p}} $である。このとき、$f$はある$\Omega$上の正則関数とほとんど至るところ一致する。
証明では以下の定理を使う。
$\Omega \subset \mathbb{C}$を領域とする。$\Omega$上の正則関数の列$\{f_i\}_{i \in \mathbb{N}}$と$\Omega$上の(複素数値)関数$f$があり、$\Omega$上で広義一様に$f_i \to f$と収束すると仮定する。このとき、$f$も$\Omega$上の正則関数である。
定理2より、$\{f_i\}$が$\Omega$上広義一様収束し、その収束先$\hat{f}$が$f$とほとんどいたるところ一致することを示せばよい。そのためにまず、各点$z\in \Omega$のある近傍$U$上の$L^\infty$ノルムに関して$\{f_i\}$がCauchy列であることを示す。
$\Omega$上の正則関数$g$に対して、平均値の不等式より
$$
|g(w)| \leq \frac{1}{\pi r^2}\int_{\zeta \in B(w, r)}|g(\zeta)| d\lambda(z)
$$
が成り立つ。$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$を満たす$q$を取ると、Hölderの不等式$\|uv\|_{L^1} \leq \|u\|_{L^p} \|v\|_{L^q}$により、右辺は
$$\frac{1}{\pi r^2} \|g\|_{L^p(B(w,r))} \|1\|_{L^q(B(w,r))} = \frac{1}{\pi r^2} (\pi r^2)^{1/q} \|g\|_{L^p(B(w,r))}$$
で抑えられる。
$B(z, 2r) \subset \Omega$となるように$r>0$を取る。このとき、$w \in B(z,r)$に対して$B(w,r) \subset B(z,2r) \subset \Omega$であるから、そのような$w$に対して、
$$|g(w)| \leq (\pi r^2)^{1/q -1} \|g\|_{L^p(B(w,r))} \leq (\pi r^2)^{1/q -1} \|g\|_{L^p(\Omega)}$$
と抑えられる。したがって、
$$\sup_{w \in B(z, r)}|g(w)| \leq (\pi r^2)^{1/q -1} \|g\|_{L^p(\Omega)} $$
という評価が得られる。
上の式で$g := f_i - f_j$とおくことにより、$\{f_i\}$が$\Omega$上の$L^p$ノルムに関してCauchy列であれば、$B(z,r)$上の$L^\infty$ノルムに関してもCauchy列であることが分かる。仮定より、$\{f_i\}$は$\Omega$上の$L^p$ノルムに関してCauchy列であるから、$\{f_i\}$は$B(z,r)$上の$L^\infty$ノルムに関して一様収束する。定理2より、$\{f_i\}$の一様収束極限として正則関数$\hat{f}$を取ることができる。一方、$L^p$収束する関数の列は部分列を取ればほとんど至るところで各点収束するので、ほとんど至るところ$f = \hat{f}$が成り立つ。
定理1の系として、次のことが成り立つ。
$\Omega \subset \mathbb{C}$を領域とし、$1 \leq p < +\infty$とする。このとき、$\Omega$上の$L^p$ノルムが有限であるような正則関数のなす空間$A^p$は、$L^p$ノルムについて閉集合である。特に、$A^p$は$\Omega$上の$L^p$ノルムに関してBanach空間となる。
ひとこと
試験的にあっさりめの記事を書いてみようと思ってやってみましたが、「a.e.で一致する関数を同一視するかどうか」という微妙な問題があり、あまり気軽には書けませんでした……。