複素解析：正則関数のL^p収束極限も正則関数

定理2より、$\{f_i\}$が$\mathrm{\Omega }$上広義一様収束し、その収束先$\hat{f}$が$f$とほとんどいたるところ一致することを示せばよい。そのためにまず、各点$z\in \mathrm{\Omega }$のある近傍$U$上の$L^{\mathrm{\infty }}$ノルムに関して$\{f_i\}$がCauchy列であることを示す。

$\mathrm{\Omega }$上の正則関数$g$に対して、平均値の不等式より
$$|g(w)|\le \frac{1}{\pi r^2}{\int }_{\zeta \in B(w,r)}|g(\zeta )|d\lambda (z)$$
が成り立つ。$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たす$q$を取ると、Hölderの不等式$\parallel uv{\parallel }_{L^1}\le \parallel u{\parallel }_{L^p}\parallel v{\parallel }_{L^q}$により、右辺は
$$\frac{1}{\pi r^2}\parallel g{\parallel }_{L^p(B(w,r))}\parallel 1{\parallel }_{L^q(B(w,r))}=\frac{1}{\pi r^2}(\pi r^2{)}^{1/q}\parallel g{\parallel }_{L^p(B(w,r))}$$
で抑えられる。

$B(z,2r)\subset \mathrm{\Omega }$となるように$r>0$を取る。このとき、$w\in B(z,r)$に対して$B(w,r)\subset B(z,2r)\subset \mathrm{\Omega }$であるから、そのような$w$に対して、
$$|g(w)|\le (\pi r^2{)}^{1/q-1}\parallel g{\parallel }_{L^p(B(w,r))}\le (\pi r^2{)}^{1/q-1}\parallel g{\parallel }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$$
と抑えられる。したがって、
$$\underset{w\in B(z,r)}{sup}|g(w)|\le (\pi r^2{)}^{1/q-1}\parallel g{\parallel }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$$
という評価が得られる。

上の式で$g:=f_i-f_j$とおくことにより、$\{f_i\}$が$\mathrm{\Omega }$上の$L^p$ノルムに関してCauchy列であれば、$B(z,r)$上の$L^{\mathrm{\infty }}$ノルムに関してもCauchy列であることが分かる。仮定より、$\{f_i\}$は$\mathrm{\Omega }$上の$L^p$ノルムに関してCauchy列であるから、$\{f_i\}$は$B(z,r)$上の$L^{\mathrm{\infty }}$ノルムに関して一様収束する。定理2より、$\{f_i\}$の一様収束極限として正則関数$\hat{f}$を取ることができる。一方、$L^p$収束する関数の列は部分列を取ればほとんど至るところで各点収束するので、ほとんど至るところ$f=\hat{f}$が成り立つ。