ヴァンデルモンド行列の逆行列

はじめに

この記事ではヴァンデルモンド行列$V_n(\x)$の逆行列$V_n(\x)^{-1}$の各成分を具体的に求めます。
まずヴァンデルモンド行列の定義を確認しておきます。

$x_1,x_2,\ldots,x_n$がそれぞれ異なる必要はありませんが、$V_n(\x)$が逆行列を持つ、つまり
$\dis\det V_n(\x)=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i)\neq0$
である必要十分条件としてそれぞれ異なるものとしました。
そしてその逆行列$V_n(\x)^{-1}$は以下のように求まります。

また$\dis f(x)=\sum^{n}_{i=0}c_ix^i$とおくと$\dis f(x)=(x-x_j)\frac{f(x)}{x-x_j}$より$c_i=c_i^{(j)}-x_jc_{i+1}^{(j)}$なので
$c_n^{(j)}=c_n=1$および$\dis f(x_j)=\sum^{n}_{k=0}c_kx_j^k=0$に注意すると$\dis c_i^{(j)}=\sum_{k=i}^{n}c_kx_j^{k-i}=-\sum^{i-1}_{k=0}c_kx_j^{k-i}$
つまり$V_n(\x)^{-1}$は以下のようにも表現できます。

証明

いま任意に$n$個の$K$の元$\y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$を取ってきて
$g_\y(x_j)=y_j\quad(j=1,2,\ldots,n)$
なる$n-1$次関数
$\dis g_\y(x)=\sum^{n}_{i=1}a_ix^{i-1}=\begin{pmatrix}1&x&\cdots&x^{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\v\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x&\cdots&x^{n-1}\end{pmatrix}\a$
を考えると$g(x)$の取り方からその係数$\a$についての方程式
$V_n(\x)\a=\y$
が成り立っており、つまり
$\dis g_\y(x)=\sum^n_{i=1}(\sum^n_{j=1}(V_n(\x)^{-1})_{i,j}\cdot y_j)x^{i-1}$
と表される。

またラグランジュの補間公式から
$\dis g_\y(x)=\sum^n_{j=1}y_j\frac{\frac{f(x)}{x-x_j}}{\left.\frac{f(x)}{x-x_j}\right|_{x=x_j}}=\sum^n_{j=1}\frac{y_j}{f'(x_j)}\cdot\frac{f(x)}{x-x_j}=\sum^n_{i=1}(\sum^n_{j=1}\frac{c_i^{(j)}}{f'(x_j)}y_j)x^{i-1}$
が成り立つので$g_\y(x)$の$y_jx^{i-1}$の係数を比較することで
$\dis(V_n(\x)^{-1})_{i,j}=\frac{c_i^{(j)}}{f'(x_j)}$
を得る。