調和振動子の微分作用素表示

微分作用素の関係式を量子力学にどう応用させていくか話して、自分のフーリエ変換と微分作用素の考察が量子調和振動子に応用できることを発見したので紹介します!!

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量子力学では系の時間発展について、系の状態と状態を観測という物理的操作により決定できる性質「Observable」の両方に分けて考えることができる。
オブザーバブルを固定し状態の変化だけを見る手法がSchrödinger描像と呼ばれ数学的には通常の等号で表された複素関数のパラメータの変化が時間発展と見ることができる。他方時間発展について、オブザーバブルを動かし、状態を固定させる手法がHeisenberg描像と呼ばれていて、数学的には演算子のパラメータを変化させてることになりる。状態は波動関数という正則な関数の形で表され、正則性という強い条件から可算無限次元ベクトルのような形で表すことができる。基底は状況次第ってかんじで、周期変化が見られるような場合は直交関数系である三角関数系で展開したり、直線に近似できる場合などは冪級数展開として表すことができるでしょう。狭義に物理演算子は、関数間の写像のことであり波動関数への演算子の作用の様子から系を記述するのです。主観ですが、関数よりも演算子の方が自由度が高く、状態ベクトルの基底が原因の発散の存在を考慮する必要が無いためハイゼンベルク描像の方がSchrödinger描像より普遍理論的に扱いやすいものと言えます。しかし実際の解析には両者の中間のDirac描像が便利で、演算子と関数の両者の変形を考えることになる。波動関数が無限次元なので線形な演算子も無限次元行列として一般に表されるが、解析的には微分作用素など性質のいい無限次元線形ものを扱うことになるでしょう。量子力学の黎明期は一般論として無限次元行列を考えたが、調和振動子等の「解ける」仕組みを持った方程式はあとでみるがとある有限次元行列のなす群と同じ構造を持っていて、無限次元の得体のしれない何かが対称性によって有限次元の構造に帰着できるってことです!!このような仕組みは表現論的に面白いと小林俊之先生が言っているのを見ました。他の色々な方程式系で公式を見ていきたいところですが、私はまだ調和振動子より難しいものは成功できてません。

調和振動子の本質はLie環$sl_2$構造の微分作用素表示にある。
以下は$sl_2$のSegal-Shale-Weil表現と呼ばれていて以前記事で紹介している
交換子積を$[A,B]=AB-BA$と定義し、性質は以下の通り。
$\begin{align}sl_2-\mathrm{triple}\end{align}$
$$\begin{align}\mathcal{D}&:=\dfrac{d}{dz}\\< br /> E_+ &:=-z^2 \mathcal{D}\\< br /> E_- &:=\mathcal{D}\\< br /> E_0 &:=2z\mathcal{D}\\< br /> sl_2&\cong \mathbb{C}E_0\oplus \mathbb{C}E_+ \oplus \mathbb{C}E_-\\< br /> [E_+,E_-]&=E_0\\< br /> [E_0,E_+]&=2E_+\\< br /> [E_-,E_0]&=2E_-\end{align}$$
この$\mathbb{C}$代数が交換子積で閉じていて、$2×2$行列と以下のように対応する(おなじ交換関係が成立する)
$$ E_0\leftrightarrow\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ $$E_+\leftrightarrow \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ $$E_- \leftrightarrow \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
つまり固有値0の2次行列に交換子積の乗法を定めたLie環となる
調和振動子は古典的なバネ運動の量子力学でのモデルで、バネにとどまらずポテンシャル関数の位置xの0,1次の項を平行移動等で消した時に近似として2次の項だけを考えることもあるので色々顔をだす。系のエネルギー全体を体現するハミルトニアン演算子は
\begin{align}\mathcal{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\mathcal{D}^2+\dfrac{1}{2}k\mathcal{X}^2\end{align}
で与えられる。$k$は"バネ定数"であり演算子はすべて花文字フォントで
位置演算子$\mathcal{X}･g(x)=xg(x)$と微分演算子$\mathcal{D}･g(x)=\dfrac{d}{dx}･g(x)=g'(x)$と書いている。
時間の乗算作用素と時間微分も同様に$\mathcal{T},\mathcal{D}_t$と書く。Heisenberg描像で話を進めるので、演算子の時間発展について述べておく。何回かblogで言ってるように$\exp h\mathcal{D}$は位置をシフトさせる並進演算子で
リンク② http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/05/233745
それと同様に$\exp t\mathcal{D}_t$が時間を経過させる演算子となる。ただし、位置演算子に微分作用素を掛け合わせただけでは、"位置演算子を微分"することはできないので、随伴作用$ad(\mathcal{A)･B=[ A,B}]$と定めると$ad(\mathcal{D})･g(\mathcal{X})=g'(\mathcal{X})$となる。$ad(\mathcal{D})$が"位置演算子で微分"はワケワカメなのでただの関数$g(z)$の導関数$g'(z)$に$z=\mathcal{X}$を代入したと考えれば良い。時間に依存する演算子$\mathcal{G}(t)$の時間発展は$\exp (t-t_0)ad(\mathcal{D}_t)･\mathcal{G}(t_0)$
と表せる。Lie環の簡単な計算で、$Ad(\mathcal{A})･\mathcal{B}=\mathcal{ABA^-1}$と定めると$\exp ad(\mathcal{A})=Ad(\exp \mathcal{A})$となるので
\begin{align}\mathcal{G}(t)=e^{(t-t_0)\mathcal{D}_t}\mathcal{G}(t_0)e^{-(t-t_0)\mathcal{D}_t}\end{align}
となる。時間に依存するSchrödinger方程式
\begin{align}i\hbar \mathcal{D}_t･|\psi (t)\rangle =\mathcal{H}･|\psi(t)\rangle\end{align}
にてHeisenberg描像を考えるので波動関数$|\psi (t)\rangle$を固定して考えて、$\mathcal{H}$が時間で不変であることから
\begin{align}\mathcal{D}_t\equiv \dfrac{1}{i\hbar}\mathcal{H}\end{align}
となる。ここで$\equiv$は"方程式の解である波動関数に作用させる場合において両辺の作用の結果が等しい" という同値関係である。厳密に作用素がイコールなわけではないので一般の関数に作用させると異なる結果になるので注意。Hamiltonが時間不変なので
\begin{align}e^{t\mathcal{D}_t}\equiv e^{\frac{t}{i\hbar}\mathcal{H}}\end{align}
となる。すなわち
\begin{align}|\psi(t)\rangle =e^{\frac{t-t_0}{i\hbar}\mathcal{H}}･|\psi(t)\rangle\end{align}
が成り立つ。演算子
\begin{align}e^{i(t-t_0)(\frac{i\hbar}{2m}\mathcal{D}^2-\frac{i}{2\hbar}k\mathcal{X}^2)}\end{align}
をみただけでは調和振動子が周期性を持っているという情報は分からず参考にした文献ではあくまで"形式的"な物で計算は出来ないと書いてありますが、$SL_2$構造を持っていることによって周期性を明示する形に持って行けるということに私は気づきました!!
その道具は既にここで説明しています
リンク③ http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/13/112929

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$,$\beta=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}$としてリンク②の道具を組み合わせて使うと
$$\begin{align}&e^{-i\hbar^{-1}\mathcal{H}}\\ =&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{\frac{i}{2}\omega t(\mathcal{D}^2-\mathcal{X}^2}\beta^{\mathcal{XD}}\\ =&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2\sin\omega t}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}\beta^{\mathcal{XD}}\\< br /> =&e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{i\hbar}{2\sqrt{mk}}\mathcal{D}^2 \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}\end{align}$$

\begin{align}| \psi(t)\rangle=e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i\hbar}{2m\omega}\mathcal{D}^2 \sin \omega t}e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}･|\psi(0)\rangle\end{align}

と計算が出来ました!明らかに$\cos z$は周期$2\pi$の関数なので周期$2\pi /\omega$角速度$\omega$で単振動していることが演算子からわかります!!つまり調和振動子の時間発展は実数回Fourier変換なのです！
私は積分表示から加法性を示したり交換関係から実数回Fourier変換の公式を導いたが、Hermite関数基底の無限次元$ℂ$線型空間の線型変換の行列成分を求めて成分から指数関数表示を出すのもあるのでアプローチが色々ある。微分作用素を使えば群論的対称性がよく分かるので良い。単振動なので「回転」なる要素があるが、実際に実数回フーリエ変換が特殊直交群$SO(2)$構造を持つことはリンク③にかいた通りです。物理的には調和振動子の運動量と位置が位相が$\pi /2$ずれた状態で楕円上を周期振動していく事実は有名ですが量子論では状態量の確率密度関数を導き出す手段として次のように演算子的に捉えることができます:運動量演算子は$\mathcal{P}=-i\hbar \mathcal{D}$と定義され、位置演算子と混合した演算子
$$\begin{align}\beta \mathcal{G}(u,v) &=\beta \beta^{-ad(\mathcal{XD})}･(u\mathcal{X}-v\hbar^{-1}\mathcal{P})\\ &=u\mathcal{X}-\dfrac{i\hbar v}{\sqrt{mk}}\mathcal{D}\end{align}$$
を考えて$G(u,v)\leftrightarrow \binom{u}{v} \in \mathcal{C}^2$と同一視して考えるとリンク③より
\begin{align}Ad\left( e^{-i\hbar^{-1} \theta \mathcal{H}}\right)･G(u,v)=G(u\cos\theta -v\sin\theta ,u\sin\theta +v\cos\theta )\end{align}
が成立する(ただし角$\theta =\omega t$)よって同型
$$\begin{align}Ad\left(e^{-i(\hbar\omega) ^{-1} \theta}\right) \leftrightarrow \left(\begin{array}{}\cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\right) \in SO(2)\end{align}$$
が作れるんですねーー!
運動量と位置の相空間をGauss平面と同一視して$SO(2)$の表現空間として調和振動子の状態に時間発展のユニタリ演算子が作用しているわけです。むりやりリンク③に帰着して考えるために拡縮変換して楕円を円にして考えましたが、関数に$SO(2)$作用を与える実数回フーリエ変換の一般化であるLinearCanonicalTransform(これは特殊線形群$SL_2 \mathbb{C}$同型)を考えれば、そのコンパクト不可算無限群と任意の調和振動子の状態を一対一対応させて考えることができます(いつか記事に書きたい)
ここで$t=2\pi /\omega$のときはすべての状態が元に戻るので、他の表示で計算してやると
\begin{align}e^{i\pi ad(\frac{\hbar}{m\omega}\mathcal{D}^2-\frac{m\omega}{\hbar}\mathcal{X}^2)} =1\end{align}
となり$ker\ ad=\mathbb{C}$、$x=\beta^2 z$と置換してやるとリンク③で導出した

が成立します!つまりこの公式は、調和振動子が"振動"するという事実を表してるのです!!!
Eulerの公式に似た(表現論的には同じと思える)この公式は私が好きな恒等式No1です!(微分,$i,\pi,e$勢揃いですので)
ちなみに2番目は正規化積
\begin{align}"\infty !=\sqrt{2\pi}"\end{align}
です

話を変えて調和振動子の生成消滅演算子について話していこうと思う。詳しくはリンク①を見て欲しいが次のように生成(下)消滅(上)演算子を定義する(本来は小文字$\hat{a}$で書くべきだが統一することにする):
\begin{align}\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}+i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align}
\begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}-i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align}
こいつは離散化された調和振動子のエネルギー準位間の関係性を与える演算子で粒子数を上下させるかんじ。交換関係
\begin{align}[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1\end{align}
をみたし、Hamiltonを因数分解(?)する:
\begin{align}\mathcal{H}=\hbar \omega (\mathcal{N}+\frac{1}{2})=\hbar \omega (\mathcal{A^{\dagger}A}+\frac{1}{2})\end{align}
$\mathcal{N}$は個数演算子と呼ばれていて作用させると波動関数の固有値として粒子数が出てくる便利なやつで、調和振動子のエネルギー$E_n=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})$に対応する波動関数を$|n\rangle$として
\begin{align}\mathcal{A}･|n\rangle=\sqrt{n-1}|n-1\rangle\end{align}
\begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}･|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\end{align}
\begin{align}\mathcal{N}･|n\rangle=n|n\rangle\end{align}
という具合に生成消滅が演算子の性質に組み込まれている。
$\mathcal{A}^{\dagger}$を何回も作用させれば真空状態から始めて任意のエネルギーの状態を作れて、これらの線型結合で状態を近似する方法はテイラー展開を想起させる。
ところで生成消滅演算子は本質的に位置･運動量演算子の$1/2$回フーリエ変換である!!!

....は???
私はこの事実に気づいてからも、物理的にどう解釈すればいいかずっと悩んでいる。実際数式的に見ると先程の演算子$\mathcal{G}$について$(\sqrt{i},0)(0,-\sqrt{i})$($\sqrt{\ }$の偏角は$[ 0,\pi)$で定める)を$1/2$回フーリエ変換すると$\pi/4$回転することから
\begin{align}\mathcal{A}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\dfrac{i}{2}},\sqrt{\dfrac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align}
\begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\dfrac{i}{2}},-\sqrt{\dfrac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align}
という具合である。複素数の随伴を掛けているのでもはや$SO(2)$から$SU(2)$に切り替わっているが、1/2回フーリエ変換と言える。元の表示を考えると
\begin{align}\mathcal{A}=Ad\left(e^{-\dfrac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2-\dfrac{m\omega}{8\hbar}}\right)･\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align}
\begin{align}\mathcal{A^{\dagger}}=Ad\left(e^{\dfrac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2+\dfrac{m\omega}{8\hbar}}\right)･\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align}
となります!位置演算子を随伴作用で変換した事になるので、運動量と位置の正凖交換関係$[\mathcal{X,P}] =-i\hbar$を随伴作用で変換してやると生成消滅演算子の正凖交換関係$[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1$に化けると解釈できる。また位置演算子の冪級数、すなわちTaylor展開をこの随伴作用で変換してやると調和振動子の無限個の合成と見なせて、Taylor展開との類似性を説明できるのです!!

どうだったでしょうか??
物理学面白すぎて死にそうです。発見の後日、物理に詳しい方と話をしていて論文に上で書いたようなことが載ってるのがあったそうです(有料でしたので入手できませんでした)
新たな算法にしてはHermite多項式の公式を覚える必要がなく微分作用素の交換関係さえ覚えていれば、三角関数のように図的に実数回Fourier変換はすぐ導出できるので有用だと思うんですが、中々知名度が低いのでもっと広がればなぁーと思います(特に理論系で)
新発見ではなかったので少し残念ですが、次こそは未発見の概念を!!と思って精進しますm(*_ _)m
読んで頂きありがとうございました!