memo001 円形に並んだ数の置換

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memo-001
$N$ を $3$ 以上の整数とする. $0, 1, \dots, N - 1$ を時計回りに円形に並べ, $1$ から順に時計回りに次の操作を繰り返し行う.
(操作) その数を両隣の数の和を $N$ で割った余りに置き換える.　
はじめて元の数の並びと一致するのは何回の操作の後か. また, はじめて $0, 1, \dots, N - 1$ の並びとなるのは何回の操作の後か.

前者の答えを $S (N)$ 、後者の答えを $T (N)$ と表すことにする。

$N = 3$ の例を挙げると、
$0, 1, 2$
$0, 2, 2$
$0, 2, 2$
$1, 2, 2$
$1, 0, 2$
$1, 0, 1$
$1, 0, 1$
$1, 2, 1$
$1, 2, 0$
$2, 2, 0$
$2, 2, 1$
$0, 2, 1$
$0, 1, 1$
$0, 1, 1$
$2, 1, 1$
$2, 0, 1$
$2, 0, 2$
$2, 0, 2$
$2, 1, 2$
$2, 1, 0$
$1, 1, 0$
$1, 1, 0$
$1, 1, 2$
$0, 1, 2$
となってはじめて元に戻る。
つまり、 $S (3) = 24, T (3) = 8$ である。
$3 \leq N \leq 12$ の範囲で $S (N), T (N)$ の値は次のようになった。