memo001 円形に並んだ数の置換

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memo-001
$N$ を $3$ 以上の整数とする. $0,1,\dots ,N-1$ を時計回りに円形に並べ, $1$ から順に時計回りに次の操作を繰り返し行う.
(操作) その数を両隣の数の和を $N$ で割った余りに置き換える.　
はじめて元の数の並びと一致するのは何回の操作の後か. また, はじめて $0,1,\dots ,N-1$ の並びとなるのは何回の操作の後か.

前者の答えを $S(N)$ 、後者の答えを $T(N)$ と表すことにする。

$N=3$ の例を挙げると、
$0,1,2$
$0,2,2$
$0,2,2$
$1,2,2$
$1,0,2$
$1,0,1$
$1,0,1$
$1,2,1$
$1,2,0$
$2,2,0$
$2,2,1$
$0,2,1$
$0,1,1$
$0,1,1$
$2,1,1$
$2,0,1$
$2,0,2$
$2,0,2$
$2,1,2$
$2,1,0$
$1,1,0$
$1,1,0$
$1,1,2$
$0,1,2$
となってはじめて元に戻る。
つまり、$S(3)=24,\ T(3)=8$ である。
$3\le N\le12$ の範囲で $S(N),\ T(N)$ の値は次のようになった。