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memo001 円形に並んだ数の置換

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memo-001
N3 以上の整数とする. 0,1,,N1 を時計回りに円形に並べ, 1 から順に時計回りに次の操作を繰り返し行う.
(操作) その数を両隣の数の和を N で割った余りに置き換える. 
はじめて元の数の並びと一致するのは何回の操作の後か. また, はじめて 0,1,,N1 の並びとなるのは何回の操作の後か.

前者の答えを S(N) 、後者の答えを T(N) と表すことにする。

N=3 の例を挙げると、
0,1,2
0,2,2
0,2,2
1,2,2
1,0,2
1,0,1
1,0,1
1,2,1
1,2,0
2,2,0
2,2,1
0,2,1
0,1,1
0,1,1
2,1,1
2,0,1
2,0,2
2,0,2
2,1,2
2,1,0
1,1,0
1,1,0
1,1,2
0,1,2
となってはじめて元に戻る。
つまり、S(3)=24, T(3)=8 である。
3N12 の範囲で S(N), T(N) の値は次のようになった。

memo001a memo001a

単調増加ではない。興味深い。

いくつか私の予想を挙げておく。(2021/02/02)

1

任意の N で操作は周期的である. つまり, S(N),T(N) が存在する.

2

N が素数のとき, S(N)/T(N)=N

3

S(N)/T(N)N のすべての素因数の最大公約数.

4

S(N)N の約数の個数に依存する.

投稿日:202122
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JMO2021予選、8完した雰囲気出しながらtwitterを開くと、なんと3完しかしてないことに気づいたnoyarulerです。

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