memo-001N を 3 以上の整数とする. 0,1,…,N−1 を時計回りに円形に並べ, 1 から順に時計回りに次の操作を繰り返し行う. (操作) その数を両隣の数の和を N で割った余りに置き換える. はじめて元の数の並びと一致するのは何回の操作の後か. また, はじめて 0,1,…,N−1 の並びとなるのは何回の操作の後か.
前者の答えを S(N) 、後者の答えを T(N) と表すことにする。
N=3 の例を挙げると、0,1,20,2,20,2,21,2,21,0,21,0,11,0,11,2,11,2,02,2,02,2,10,2,10,1,10,1,12,1,12,0,12,0,22,0,22,1,22,1,01,1,01,1,01,1,20,1,2となってはじめて元に戻る。つまり、S(3)=24, T(3)=8 である。3≤N≤12 の範囲で S(N), T(N) の値は次のようになった。
memo001a
単調増加ではない。興味深い。
いくつか私の予想を挙げておく。(2021/02/02)
任意の N で操作は周期的である. つまり, S(N),T(N) が存在する.
N が素数のとき, S(N)/T(N)=N
S(N)/T(N) は N のすべての素因数の最大公約数.
S(N) は N の約数の個数に依存する.
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。