楕円と双曲線の双対性

$$ \sqrt{(a\cos \theta\mp\sqrt{a^2-b^2}\cosh \varphi)^2+(b\sin \theta)^2+(b\sinh\varphi)^2}\\ =\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta+(a^2-b^2)\cosh^2\varphi+b^2\sinh^2\varphi\mp 2a\sqrt{a^2-b^2}\cos \theta\cosh\varphi}\\ =\sqrt{(a^2-b^2)\cos^2\theta+a^2\cosh^2\varphi\mp 2a\sqrt{a^2-b^2}\cos \theta\cosh\varphi}\\ =\sqrt{(a\cosh\varphi\mp\sqrt{a^2-b^2}\cos\theta)^2}\\ =a\cosh\varphi\mp \sqrt{a^2-b^2}\cos \theta $$

楕円$E$上の点$e:(a\cos \theta,b\sin \theta,0)$と双曲線$H_1$上の点$h_1:(-\sqrt{a^2-b^2}\cosh \varphi,0,b\sinh\varphi)$の距離を$f_1(\theta,\varphi)$とし、楕円$E$上の点$e:(a\cos \theta,b\sin \theta,0)$と双曲線$H_2$上の点$h_2:(\sqrt{a^2-b^2}\cosh \varphi,0,b\sinh\varphi)$の距離を$f_2(\theta,\varphi)$とすると、補題2より
$$ f_1(\theta,\varphi)=a\cosh\varphi+ \sqrt{a^2-b^2}\cos \theta\\ f_2(\theta,\varphi)=a\cosh\varphi- \sqrt{a^2-b^2}\cos \theta $$
である。よって、$i=1,2$として、
$$ \frac{ \partial^2 f_i }{ \partial \theta \partial \varphi} =0 $$
が成り立つ。差分の表現にすれば、
$$ \overline{eh_i}-\overline{eh_i'}=\overline{e'h_i}-\overline{e'h_i'} $$
が任意の$e,e'\in E, h_i,h_i'\in H_i$で成り立つということであり(ただし$\overline{ab}$は二点$a,b$間の距離を表す)、これは、$H_i$から二点を取ると、$E$の反焦点になることを表す。また、移行して、
$$ \overline{eh_i}-\overline{e'h_i}=\overline{eh_i'}-\overline{e'h_i'} $$
とすれば、$E$から二点を取ると、$H_i$の焦点となることを表す。
さらに、
$$ \frac{\partial}{\partial \theta}f_1(\theta,\varphi)=-\frac{\partial}{\partial \theta}f_2(\theta,\psi) $$
が任意の$\varphi,\psi$で成り立つことから、差分表現にすれば、
$$ \overline{eh_1}-\overline{e'h_1}=-(\overline{eh_2}-\overline{e'h_2}) $$
が任意の$e,e'\in E, h_i,h_i'\in H_i$で成り立つ。移行して、
$$ \overline{eh_1}+\overline{eh_2}=\overline{e'h_1}+\overline{e'h_2} $$
とすれば、$H_1,H_2$から一点ずつ取ると、$E$の焦点となることを表す。
以上より、定理1は示された。