はかいしんさんのツイート
https://twitter.com/code_1623/status/1357238255893110785?s=20
を読んで写像の逆像の面白い性質を知ったので、それについて書こうと思います．
$A,B$を集合とし、$f\colon A\to B$を写像とします．すると冪集合の間には逆像をとる写像
$$
f^*\colon P(B)\to P(A);~V\mapsto f^{-1}(V)
$$
が誘導されます．実は次のようなことが成り立ちます．
全射と単射が入れ替わっていることに注意します．この定理自体は愚直に考えれば証明できますが、ここでは代数の知識を使って綺麗に証明したいと思います．
集合$S$に対して全単射
$$(\F_2^{\oplus S})^\vee\to P(S);~g\mapsto \{s\in S\mid g([s])=1\}$$
が存在することに着目する．ただし$({-})^\vee$は$\mathbb{F}_2$ベクトル空間の双対を表す．
写像$f\colon A\to B$は$\F_2$線型写像$\varphi_f\colon \F_2^{\oplus A}\to \F_2^{\oplus B}$を誘導し、$f$の単射性・全射性は$\varphi_f$の単射性・全射性と同値である．また$\varphi_f^*\colon (\F_2^{\oplus B})^\vee\to (\F_2^{\oplus A})^\vee$は上記の全単射により$f^*\colon P(B)\to P(A)$に対応する．よって主張は以下の補題から従う．
$k$を体とする．$\varphi\colon V\to W$を$k$ベクトル空間の間の線型写像とし、$\varphi^*\colon W^\vee\to V^\vee$をその双対写像とする．このとき、
$k$は$k$加群として入射的なので、完全列
$$
0\to \Ker~\varphi\to V\to W\to \Coker~\varphi\to 0
$$
より完全列
$$
0\to (\Coker~\varphi)^\vee\to W^\vee\to V^\vee\to (\Ker~\varphi)^\vee\to 0
$$
が得られる．主張はここから直ちに従う．