逆像の面白い性質

集合$S$に対して全単射
$$({\mathbb{F}}_2^{\oplus S}{)}^{\vee }\to P(S);g\mapsto \{s\in S\mid g([s])=1\}$$
が存在することに着目する．ただし$(-{)}^{\vee }$は${\mathbb{F}}_2$ベクトル空間の双対を表す．

写像$f:A\to B$は${\mathbb{F}}_2$線型写像${\phi }_f:{\mathbb{F}}_2^{\oplus A}\to {\mathbb{F}}_2^{\oplus B}$を誘導し、$f$の単射性・全射性は${\phi }_f$の単射性・全射性と同値である．また${\phi }_f^{\ast }:({\mathbb{F}}_2^{\oplus B}{)}^{\vee }\to ({\mathbb{F}}_2^{\oplus A}{)}^{\vee }$は上記の全単射により$f^{\ast }:P(B)\to P(A)$に対応する．よって主張は以下の補題から従う．

$k$は$k$加群として入射的なので、完全列
$$0\to \mathrm{Ker}\phi \to V\to W\to \mathrm{Coker}\phi \to 0$$
より完全列
$$0\to (\mathrm{Coker}\phi {)}^{\vee }\to W^{\vee }\to V^{\vee }\to (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\vee }\to 0$$
が得られる．主張はここから直ちに従う．