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逆像の面白い性質

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はかいしんさんのツイート
https://twitter.com/code_1623/status/1357238255893110785?s=20
を読んで写像の逆像の面白い性質を知ったので、それについて書こうと思います.

A,Bを集合とし、f:ABを写像とします.すると冪集合の間には逆像をとる写像
f:P(B)P(A); Vf1(V)
が誘導されます.実は次のようなことが成り立ちます.

  1. fが単射であることはfが全射であることと同値である.
  2. fが全射であることはfが単射であることと同値である.

全射と単射が入れ替わっていることに注意します.この定理自体は愚直に考えれば証明できますが、ここでは代数の知識を使って綺麗に証明したいと思います.

集合Sに対して全単射
(F2S)P(S); g{sSg([s])=1}
が存在することに着目する.ただし()F2ベクトル空間の双対を表す.

写像f:ABF2線型写像φf:F2AF2Bを誘導し、fの単射性・全射性はφfの単射性・全射性と同値である.またφf:(F2B)(F2A)は上記の全単射によりf:P(B)P(A)に対応する.よって主張は以下の補題から従う.

kを体とする.φ:VWkベクトル空間の間の線型写像とし、φ:WVをその双対写像とする.このとき、

  1. φが単射であることはφが全射であることと同値である.
  2. φが全射であることはφが単射であることと同値である.

kk加群として入射的なので、完全列
0Ker φVWCoker φ0
より完全列
0(Coker φ)WV(Ker φ)0
が得られる.主張はここから直ちに従う.

投稿日:202124
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J_Koizumi
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