四次方程式（根の非調和比）
四次方程式の四つの根の有理式の中で，最も著しいものは非調和比であろう．(高木貞治『代数学講義 改訂新版』より）
$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$について
$v_1:=(\alpha_{1}-\alpha_{2})(\alpha_{3}-\alpha_{4})$
$v_2:=(\alpha_{1}-\alpha_{3})(\alpha_{4}-\alpha_{2})$
$v_3:=(\alpha_{1}-\alpha_{4})(\alpha_{2}-\alpha_{3})$
$$k:=-\frac{v_2}{v_3}$$
$v_1+v_2+v_3=0$
$$f(x)=\frac{1}{x} , g(x)=1-x$$
とおくと $ff=gg=id$ $, fgf=gfg$ をみたし、
$$f(k)=-\frac{v_3}{v_2},g(k)=-\frac{v_1}{v_3},gf(k)=-\frac{v_1}{v_2},fg(k)=-\frac{v_3}{v_1},fgf(k)=-\frac{v_2}{v_1}$$
$e_1:=v_2-v_3$
$e_2:=v_3-v_1$
$e_3:=v_1-v_2$
$e_1+e_2+e_3=0$
$g_2:=-4(e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1)$
$g_3:=4e_1e_2e_3$
$4e_i^3-g_2e_i-g_3=0 \ \ (i=1,2,3)$
$\Delta_3(\alpha,\beta,\gamma):=(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$
$x^3+Px+Q=0$について $\Delta_3=-4P^3-27Q^2$
$\Delta_4(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4):=(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2(\alpha_1-\alpha_4)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2(\alpha_2-\alpha_4)^2(\alpha_3-\alpha_4)^2$
$=(v_1v_2v_3)^2$
$\varDelta:=g_2^3-27g_3^2=2^4\Delta_3(e_1,e_2,e_3)=2^43^6\Delta_4(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$
$x^3+Px+Q=0$について解を $x=\alpha,\beta,\gamma$
$\omega$ を $\omega^2+\omega+1=0$ とする.
$A=\alpha+\beta+\gamma$ $,B=\alpha+\beta\omega+\gamma\omega^2$ $,C=\alpha+\beta\omega^2+\gamma\omega$とおくと
$A+B+C=3\alpha$ $,A+B\omega^2+C\omega=3\beta$ $,A+B\omega+C\omega^2=3\gamma$ となるので、
$BC=-3P,B^3C^3=-27P^3,B^3+C^3=-27Q$
$(B^3-C^3)^2=(-27Q)^2-4(-27P^3)=-27\Delta_3$ をみたす.
このとき、解の公式は以下のように与えられる.
$$\alpha,\beta,\gamma=\left(-\frac{Q}{2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{\Delta_3}{27}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}\omega^t+\left(-\frac{Q}{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{\Delta_3}{27}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}\omega^{-t}$$
ここで $t=0,1,2$
$y=x^2-x+1$ $,l=k^2-k+1$ とおくと
$$\prod_{i\ne j}\left(x+\frac{v_i}{v_j}\right)=(x-k)(x-\frac{1}{k})(x+k-1)(x+\frac{1}{k-1})(x+\frac{1-k}{k})(x+\frac{k}{1-k})$$
$$=(y-l)\left(y-\frac{l}{k^2}\right)\left(y-\frac{l}{(1-k)^2}\right)=y^3-\frac{l^3(1-y)^2}{(1-l)^2}$$
$$y^3-\frac{l^3(1-y)^2}{(1-l)^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y^3}{(1-y)^2}=\frac{l^3}{(1-l)^2}=\frac{27g_2^3}{4\varDelta}$$
$e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1=3(v_1v_2+v_2v_3+v_3v_1)$が成り立つ.
$$\frac{v_1v_2+v_2v_3+v_3v_1}{v_3^2}=\frac{v_1}{v_3}\frac{v_2}{v_3}+\frac{v_2}{v_3}+\frac{v_1}{v_3}=(1-k)k-k+k-1=-l$$
および
$$1-l=k-k^2=(1-k)k=\frac{v_1v_2v_3}{v_3^3}$$
が成り立つので、
$$\frac{l^3}{(1-l)^2}=-\frac{(v_1v_2+v_2v_3+v_3v_1)^3}{(v_1v_2v_3)^2}=\frac{27g_2^3}{4\varDelta}$$
$$J=\frac{g_2^3}{\varDelta}$$
$$\frac{4l^3}{g_2^3}=\frac{27(1-l)^2}{\varDelta}=\frac{4l^3-27(1-l)^2}{g_2^3-\varDelta}=\frac{(k+1)^2(k-2)^2(2k-1)^2}{27g_3^2}$$
$$\frac{X}{Y}=\frac{Z}{W} \Rightarrow \frac{X}{Y}=\frac{Z}{W}＝\frac{X-Z}{Y-W}$$
を利用するとよい.
$\varphi(l)=4l^3-27(1-l)^2$を$l$で微分すると$12l^2-54(l-1)=6(2l-3)(l-3)$なので$\varphi(3)=\varphi'(3)=0$より$\varphi(l)=(l-3)^2(4l-3)=(k^2-k-2)^2(4k^2-4k+1)=(k+1)^2(k-2)^2(2k-1)^2$
$x$についての6次方程式
$$\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2(1-x)^2}=\frac{27}{4}J$$
について
$$a:=x+\frac{1}{x}-1 \ ,\ P:=\frac{27}{4}J$$とおくと、$a$についての3次方程式
$$\frac{a^3}{a-1}=P$$
を得る.
$a^3-Pa+P=0$の判別式は$$4P^3-27P^2=P^2\frac{3^6g_3^2}{\varDelta}=P^2\frac{(k+1)^2(k-2)^2(2k-1)^2}{k^2(1-k)^2}$$
となるので、
$$\pm \sqrt{\Delta_3}=P\frac{(k+1)(k-2)(2k-1)}{k(1-k)}$$
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