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四次方程式（根の非調和比）

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四次方程式の四つの根の有理式の中で，最も著しいものは非調和比であろう．(高木貞治『代数学講義改訂新版』より）

根の非調和比

$α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ について
$v_{1} := (α_{1} - α_{2}) (α_{3} - α_{4})$
$v_{2} := (α_{1} - α_{3}) (α_{4} - α_{2})$
$v_{3} := (α_{1} - α_{4}) (α_{2} - α_{3})$
$k := - \frac{v_{2}}{v_{3}}$

$v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$

$f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = 1 - x$
とおくと $f f = g g = i d$ $, f g f = g f g$ をみたし、
$f (k) = - \frac{v_{3}}{v_{2}}, g (k) = - \frac{v_{1}}{v_{3}}, g f (k) = - \frac{v_{1}}{v_{2}}, f g (k) = - \frac{v_{3}}{v_{1}}, f g f (k) = - \frac{v_{2}}{v_{1}}$

$e_{1} := v_{2} - v_{3}$
$e_{2} := v_{3} - v_{1}$
$e_{3} := v_{1} - v_{2}$

$e_{1} + e_{2} + e_{3} = 0$

$g_{2} := - 4 (e_{1} e_{2} + e_{2} e_{3} + e_{3} e_{1})$
$g_{3} := 4 e_{1} e_{2} e_{3}$

$4 e_{i}^{3} - g_{2} e_{i} - g_{3} = 0 (i = 1, 2, 3)$

3次方程式の判別式

$Δ_{3} (α, β, γ) := (α - β)^{2} (β - γ)^{2} (γ - α)^{2}$

3次方程式の判別式

$x^{3} + P x + Q = 0$ について　 $Δ_{3} = - 4 P^{3} - 27 Q^{2}$

4次方程式の判別式

$Δ_{4} (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) := (α_{1} - α_{2})^{2} (α_{1} - α_{3})^{2} (α_{1} - α_{4})^{2} (α_{2} - α_{3})^{2} (α_{2} - α_{4})^{2} (α_{3} - α_{4})^{2}$
$= (v_{1} v_{2} v_{3})^{2}$

$Δ := g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2} = 2^{4} Δ_{3} (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 2^{4} 3^{6} Δ_{4} (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$

3次方程式の解の公式

$x^{3} + P x + Q = 0$ について解を $x = α, β, γ$
$ω$ を $ω^{2} + ω + 1 = 0$ とする.
$A = α + β + γ$ $, B = α + β ω + γ ω^{2}$ $, C = α + β ω^{2} + γ ω$ とおくと
$A + B + C = 3 α$ $, A + B ω^{2} + C ω = 3 β$ $, A + B ω + C ω^{2} = 3 γ$ 　となるので、
$B C = - 3 P, B^{3} C^{3} = - 27 P^{3}, B^{3} + C^{3} = - 27 Q$
$(B^{3} - C^{3})^{2} = (- 27 Q)^{2} - 4 (- 27 P^{3}) = - 27 Δ_{3}$ をみたす.
このとき、解の公式は以下のように与えられる.
$α, β, γ = {(- \frac{Q}{2} + \frac{1}{2} {(- \frac{Δ_{3}}{27})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} ω^{t} + {(- \frac{Q}{2} - \frac{1}{2} {(- \frac{Δ_{3}}{27})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} ω^{- t}$
ここで　 $t = 0, 1, 2$ 　

$y = x^{2} - x + 1$ $, l = k^{2} - k + 1$ とおくと
$\prod_{i \neq j} (x + \frac{v_{i}}{v_{j}}) = (x - k) (x - \frac{1}{k}) (x + k - 1) (x + \frac{1}{k - 1}) (x + \frac{1 - k}{k}) (x + \frac{k}{1 - k})$
$= (y - l) (y - \frac{l}{k^{2}}) (y - \frac{l}{(1 - k)^{2}}) = y^{3} - \frac{l^{3} (1 - y)^{2}}{(1 - l)^{2}}$

$y^{3} - \frac{l^{3} (1 - y)^{2}}{(1 - l)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{y^{3}}{(1 - y)^{2}} = \frac{l^{3}}{(1 - l)^{2}} = \frac{27 g_{2}^{3}}{4 Δ}$

$e_{1} e_{2} + e_{2} e_{3} + e_{3} e_{1} = 3 (v_{1} v_{2} + v_{2} v_{3} + v_{3} v_{1})$ が成り立つ.
$\frac{v_{1} v_{2} + v_{2} v_{3} + v_{3} v_{1}}{v_{3}^{2}} = \frac{v_{1}}{v_{3}} \frac{v_{2}}{v_{3}} + \frac{v_{2}}{v_{3}} + \frac{v_{1}}{v_{3}} = (1 - k) k - k + k - 1 = - l$
および
$1 - l = k - k^{2} = (1 - k) k = \frac{v_{1} v_{2} v_{3}}{v_{3}^{3}}$
が成り立つので、
$\frac{l^{3}}{(1 - l)^{2}} = - \frac{(v_{1} v_{2} + v_{2} v_{3} + v_{3} v_{1})^{3}}{(v_{1} v_{2} v_{3})^{2}} = \frac{27 g_{2}^{3}}{4 Δ}$

J関数

$J = \frac{g_{2}^{3}}{Δ}$

$\frac{4 l^{3}}{g_{2}^{3}} = \frac{27 (1 - l)^{2}}{Δ} = \frac{4 l^{3} - 27 (1 - l)^{2}}{g_{2}^{3} - Δ} = \frac{(k + 1)^{2} (k - 2)^{2} (2 k - 1)^{2}}{27 g_{3}^{2}}$

$\frac{X}{Y} = \frac{Z}{W} \Rightarrow \frac{X}{Y} = \frac{Z}{W} ＝ \frac{X - Z}{Y - W}$
を利用するとよい.
$φ (l) = 4 l^{3} - 27 (1 - l)^{2}$ を $l$ で微分すると $12 l^{2} - 54 (l - 1) = 6 (2 l - 3) (l - 3)$ なので $φ (3) = φ^{'} (3) = 0$ より $φ (l) = (l - 3)^{2} (4 l - 3) = (k^{2} - k - 2)^{2} (4 k^{2} - 4 k + 1) = (k + 1)^{2} (k - 2)^{2} (2 k - 1)^{2}$

$x$ についての6次方程式
$\frac{(x^{2} - x + 1)^{3}}{x^{2} (1 - x)^{2}} = \frac{27}{4} J$
について
$a := x + \frac{1}{x} - 1, P := \frac{27}{4} J$ とおくと、 $a$ についての3次方程式
$\frac{a^{3}}{a - 1} = P$
を得る.
$a^{3} - P a + P = 0$ の判別式は $4 P^{3} - 27 P^{2} = P^{2} \frac{3^{6} g_{3}^{2}}{Δ} = P^{2} \frac{(k + 1)^{2} (k - 2)^{2} (2 k - 1)^{2}}{k^{2} (1 - k)^{2}}$
となるので、
$\pm \sqrt{Δ_{3}} = P \frac{(k + 1) (k - 2) (2 k - 1)}{k (1 - k)}$