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正十二面体は正二十面体よりも「まるい」

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前提知識 : 正五角形の対角線の長さ.
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正五角形

方程式x2=x+1の二つの解の内, 正のほうをϕ, 負のほうをϕ¯と書き, 前者を黄金比と呼ぶ.

凡そ
ϕ1.618
であり, この数が方程式x2=x+1あるいはx=1+1/xの解であることから
ϕ2=ϕ+1,ϕ=1+1ϕϕ+ϕ¯=1,ϕϕ¯=1,ϕ=1+52,ϕ¯=152,ϕϕ¯=5
などの等式を用いることができる. 周知の事実として, 一辺長が1の正五角形の対角線の長さは何れもϕであり, 下の図のような直角三角形の相似関係が見つけられることから, 青色の三角形の面積は全体の1/(ϕ+2)即ち
1ϕ+2=1ϕ2+1=1ϕ(ϕϕ¯)=15ϕ
に相当することが判る.

面積比 面積比

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正十二面体

一辺長が1の正十二面体の外接球半径は3ϕ2である.

正十二面体には, 下の図のよう立方体を内接させることができる.

正十二面体 正六面体の埋めこみ 正十二面体 正六面体の埋めこみ

故に, 各面の正五角形の対角線がϕを長さに持つことから, 最長なる対角線の長さは3ϕであり, 外接球半径はその半分として先のように書くことができる.

(参考図)
正十二面体 分割 正十二面体 分割
正十二面体 結合 正十二面体 結合

一辺長が1の正十二面体の体積は5ϕ42である.

立方体との外接関係から, 正十二面体を一辺が水平になるよう上から覗いた投影図は下のように描ける.
正十二面体 投影図 正十二面体 投影図
正十二面体を十二個の合同なる正五角錐に分割すると, 一つの体積が判れば, 全体はその12倍として計算できる. 特に下の図のような正五角錐であれば, 一つの体積は次の図のような橙色の三角錐の体積のϕ+2倍即ち5ϕ倍として導出される.
正五角錐 正五角錐
(「正面」から見た図)
正十二面体 体積 - 1 正十二面体 体積 - 1
(「上」から見た図)
正十二面体 体積 - 2 正十二面体 体積 - 2
従って, 不透明な橙色の面を底面に, 緑色の線分が示す長さを高さと見れば, 三角錐の体積は
1×ϕ2/22×ϕ2×13=ϕ324
と表すことができるため, 正十二面体の体積は
ϕ324×5ϕ×12=5ϕ32
である.

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正二十面体

一辺長が1の正二十面体の外接球半径は5ϕ2である.

正二十面体は, 下の図のように立方体に内接させることができ, 一辺が水平になるよう上から見た投影図は次のようになる.
正二十面体 立方体への埋めこみ 正二十面体 立方体への埋めこみ
正二十面体 投影図 正二十面体 投影図
故に, 三平方の定理から最長なる対角線の長さは
ϕ2+12=ϕ(ϕϕ¯)=5ϕと計算することができ, 外接球半径はその半分として先のように書ける.

一辺長が1の正二十面体の体積は5ϕ26である.

正十二面体を二十個の合同なる正三角錐に分割すると, 一つの体積が判れば, 全体はその20倍として計算できる. 特に下の図のような三角錐であれば, 投影図から底面積と高さを容易に導くことができる.
正二十面体 体積 - 1 正二十面体 体積 - 1
(「上」から見た図)
正二十面体 体積 - 2 正二十面体 体積 - 2
(「正面」から見た図)
正二十面体 体積 - 3 正二十面体 体積 - 3
従って, 三角錐一つの体積は
1×ϕ/22×ϕ2×13=ϕ224
であり, 全体の体積は先のように書ける.

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丸さ

正十二面体および正二十面体に対して, その丸さを外接球に占める自身の体積割合として
3V4πR3と定義する. 但し, V,R,πはそれぞれ体積, 外接球半径, 円周率である.

正十二面体の丸さは正二十面体の丸さよりも大きい.

丸さの代わりに(V/R3)2の値を比較する. 一辺長が1の正十二面体および正二十面体の体積と外接球半径をそれぞれV,R,V,Rと書けば
VR3=5ϕ4/233ϕ3/8=4533ϕ,VR3=5ϕ2/65ϕ5ϕ/8=435ϕ
と計算できるため, これらの平方比は
(VR3)2:(VR3)2=16×527ϕ2:169×5ϕ=25ϕ:3となり, 正十二面体のほうが丸さが大きいことが判る.

不思議ですね... (計算間違えが有るかも知れません. )
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投稿日:202125
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ゆう
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