大学数学基礎解説

平均不等式理論

平均不等式

序文

構成

本記事群は以下のような構成になっている.

導入
理論（本記事）
技術
応用

目的

本記事の目的は多様な応用がある平均不等式の基礎となる AM-GM 不等式を示す.

正文

AM-GM の不等式 $2$変数

$ 0\le a,b $に対して以下が成り立つ.

$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$\left(e.h.c.:a=b\right)$

$0\le a,b$より,
\begin{alignat*}{3} 0&\le(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2&&(e.c.~a=b)\\ &=a-2\sqrt{ab}+b \end{alignat*}
\begin{alignat*}{3} \therefore&\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\\ &(e.c.~a=b) \end{alignat*}

相加相乗平均の関係 $n$変数

$0\le a_k(k=1,2,\cdots,n)$に対して以下が成り立つ.

$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n}$$\left(e.c.~:a_1=a_2=\cdots =a_n\right)$

\begin{equation*} A{:=}~\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \end{equation*}
とする.

$A=0$の時,

      $0\le a_{i}(\mathbb{N}\ni i\le n)$より,
$$
    A=0\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=0
$$
よって, 示すべき不等式は成り立つ.

$A\neq0$の時,
\begin{alignat}{3}
&\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}&&\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\nonumber\
\Leftrightarrow &a_{1}a_{2}\cdots a_{n}&&\le A^{n}\nonumber\
\Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&&\le 1\label{equiv:n_am-gm}
\end{alignat}
ここで$y=\mathrm{e}^x$は凸関数であるため, $(1,\mathrm{e})$における接線を考えると, 以下が成り立つ.
\begin{equation*}
\mathrm{e}x\le \mathrm{e}^x
\end{equation*}
よって$0\le a_{i}(\mathbb{N}\ni i\le n)$より,
\begin{alignat*}{3}
0\le\mathrm{e}\frac{a_{1}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{1}}{A}=1)\
0\le\mathrm{e}\frac{a_{2}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{2}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{2}}{A}=1)\
&~~\vdots\
0\le\mathrm{e}\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{n}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{n}}{A}=1)\
\therefore \mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}\
(e.c.&\frac{a_{1}}{A}=\frac{a_{2}}{A}=\cdots=\frac{a_{n}}{A}=1)
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{3}
&\mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}=\mathrm{e}^n\
\Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le1\
(&e.c.a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n})
\end{alignat*}
よって示すべき不等式は成り立つ.

よって, 1. , 2. より,
\begin{alignat*}{3} \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\\ (e.c.~a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}) \end{alignat*}

投稿日：2021年2月5日