平均不等式 理論

$0\le a,b$より,
\begin{alignat*}{3} 0&\le(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2&&(e.c.~a=b)\\ &=a-2\sqrt{ab}+b \end{alignat*}
\begin{alignat*}{3} \therefore&\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\\ &(e.c.~a=b) \end{alignat*}

\begin{equation*} A{:=}~\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \end{equation*}
とする.

1. $A=0$の時,

      $0\le a_{i}(\mathbb{N}\ni i\le n)$より,
$$
    A=0\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=0
$$
よって, 示すべき不等式は成り立つ.
    

1. $A\neq0$の時,
   \begin{alignat}{3}
   &\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}&&\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\nonumber\
   \Leftrightarrow &a_{1}a_{2}\cdots a_{n}&&\le A^{n}\nonumber\
   \Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&&\le 1\label{equiv:n_am-gm}
   \end{alignat}
   ここで$y=\mathrm{e}^x$は凸関数であるため, $(1,\mathrm{e})$における接線を考えると, 以下が成り立つ.
   \begin{equation*}
   \mathrm{e}x\le \mathrm{e}^x
   \end{equation*}
   よって$0\le a_{i}(\mathbb{N}\ni i\le n)$より,
   \begin{alignat*}{3}
   0\le\mathrm{e}\frac{a_{1}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}}(e.c. \frac{a_{1}}{A}=1)\
   0\le\mathrm{e}\frac{a_{2}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{2}}{A}}(e.c. \frac{a_{2}}{A}=1)\
   &~~\vdots\
   0\le\mathrm{e}\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{n}}{A}}(e.c. \frac{a_{n}}{A}=1)\
   \therefore \mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}\
   (e.c.&\frac{a_{1}}{A}=\frac{a_{2}}{A}=\cdots=\frac{a_{n}}{A}=1)
   \end{alignat*}
   \begin{alignat*}{3}
   &\mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}=\mathrm{e}^n\
   \Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le1\
   (&e.c.a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n})
   \end{alignat*}
   よって示すべき不等式は成り立つ.

よって, 1. , 2. より,
\begin{alignat*}{3} \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\\ (e.c.~a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}) \end{alignat*}