大学数学基礎解説

平均不等式理論

平均不等式

序文

構成

本記事群は以下のような構成になっている.

導入
理論（本記事）
技術
応用

目的

本記事の目的は多様な応用がある平均不等式の基礎となる AM-GM 不等式を示す.

正文

AM-GM の不等式

2

変数

$0 \leq a, b$ に対して以下が成り立つ.

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

(e . h . c . : a = b)

$0 \leq a, b$ より,
$\begin{aligned} 0 & \leq (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} & (e . c . a = b) \\ = a - 2 \sqrt{a b} + b \end{aligned}$
$\begin{aligned} ∴ & \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} \\ (e . c . a = b) \end{aligned}$

相加相乗平均の関係

n

変数

$0 \leq a_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ に対して以下が成り立つ.

\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}}

(e . c . : a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n})

$A := \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$
とする.

$A = 0$ の時,

      $0\le a_{i}(\mathbb{N}\ni i\le n)$より,
$$
    A=0\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\cdots a_{n}=0
$$
よって, 示すべき不等式は成り立つ.

$A \neq 0$ の時,
\begin{alignat}{3}
&\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}&&\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\nonumber\
\Leftrightarrow &a_{1}a_{2}\cdots a_{n}&&\le A^{n}\nonumber\
\Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&&\le 1\label{equiv:n_am-gm}
\end{alignat}
ここで $y = e^{x}$ は凸関数であるため, $(1, e)$ における接線を考えると, 以下が成り立つ.
\begin{equation*}
\mathrm{e}x\le \mathrm{e}^x
\end{equation*}
よって $0 \leq a_{i} (N ∋ i \leq n)$ より,
\begin{alignat*}{3}
0\le\mathrm{e}\frac{a_{1}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{1}}{A}=1)\
0\le\mathrm{e}\frac{a_{2}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{2}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{2}}{A}=1)\
&~~\vdots\
0\le\mathrm{e}\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{n}}{A}}~~(e.c.~~ \frac{a_{n}}{A}=1)\
\therefore \mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}&\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}\
(e.c.&\frac{a_{1}}{A}=\frac{a_{2}}{A}=\cdots=\frac{a_{n}}{A}=1)
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{3}
&\mathrm{e}^n\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le \mathrm{e}^{\frac{a_{1}}{A}+\frac{a_{2}}{A}+\cdots+\frac{a_{n}}{A}}=\mathrm{e}^n\
\Leftrightarrow &\frac{a_{1}}{A}\frac{a_{2}}{A}\cdots\frac{a_{n}}{A}\le1\
(&e.c.a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n})
\end{alignat*}
よって示すべき不等式は成り立つ.

よって, 1. , 2. より,
$\begin{array}{r} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \\ (e . c . a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}) \end{array}$