xとsinxが共に満たす性質

こちらのツイートの2枚目について解説します。
https://twitter.com/tria_math/status/1357529006300483586?s=19

まずは$(1)$を$b$で偏微分します。

$f(2b)=f^{\prime }(b+a)f(b-a)+f(b+a)f^{\prime }(b-a)$

これを$a$で偏微分します。

$f^{″}(b+a)f(b-a)-f(b+a)f^{″}(b-a)=0$

$2a=x-y,2b=x+y$とおきます。

$f^{″}(x)f(y)-f(x)f^{″}(y)=0$

$f(x)$が恒等的に$0$と等しいときは$(1)$を満たすので、$f(x)$が恒等的に$0$と等しくないときを考えます。
$f(x)$が恒等的に$0$と等しくなければ$f(x)$はある区間において零点を持たないので、$x,y$はその区間上にあるとして考えます。
このとき、$f(x)f(y)\ne 0$なので両辺を$f(x)f(y)$で割ることができます。

${\displaystyle \frac{f^{″}(x)}{f(x)}=\frac{f^{″}(y)}{f(y)}}$

これより、${\displaystyle \frac{f^{″}(x)}{f(x)}}$は一定であるので、これを$c^2$とおきます。($c$は複素数であるとする。)

すると、$f^{″}(x)=c^{2}f(x)$となります。

$c=0$のとき、これの解は$f(x)=px+q$となりますが、$(1)$に代入すると$p=1,q=0$が分かります。

$c\ne 0$のとき、これの解は$f(x)=p{e}^{cx}+q{e}^{-cx}$となります。
これを$(1)$に代入すると、
${\displaystyle \frac{1}{c}(p{e}^{2bc}-q{e}^{-2bc}-p{e}^{2ac}+q{e}^{-2ac})=2(p^2{e}^{2bc}+q^2{e}^{-2bc}+pq{e}^{2ac}+pq{e}^{-2ac})}$
$p,q$のどちらか一方が$0$ならばもう片方も$0$となるので$pq\ne 0$で考えます。
このとき、${\displaystyle p=\frac{1}{c},q=-\frac{1}{c}}$となるので、${\displaystyle f(x)=\frac{\sinh cx}{c}}$
$c$を$ci$に置き換えることで、${\displaystyle f(x)=\frac{\sin cx}{c}}$となります。

従って、条件式$(1)$を満たす$C^{\mathrm{\infty }}$級関数$f(x)$は${\displaystyle f(x)=0,x,\frac{\sin cx}{c}}$のみであることが分かりました。