積分解説29
積分botに投下された積分です。
https://twitter.com/integralsbot/status/1357489353732182017?s=21
$$ \displaystyle \int_0^\infty\frac{x\log x}{1-e^{2e\pi x}}dx=\frac{\log A}{2e^2} $$
ここでの$A$は グレイシャー・キンケリンの定数 です。
また、この積分を解くにあたり、
$\d\z'(2)=\z(2)\l\log2\pi+\gamma-12\log A \r $
$\d\psi(2)=1-\gamma $
を使用します。$\psi(x)$は ディガンマ函数 です。
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty\frac{x\log x}{1-e^{2e\pi x}}dx\\ &=&-\int_0^\infty x\log x\frac{e^{-2e\pi x}}{1-e^{-2e\pi x}}dx\\ &=&-\int_0^\infty x\log x\sum_{k=1}^\infty e^{-2e\pi kx}dx\\ &=&-\sum_{k=1}^\infty\i\infty xe^{-2e\pi kx}\log xdx\\ &=&\left.-\sum_{k=1}^\infty\i\infty\frac{\partial}{\partial t}x^{t-1}e^{-2\pi kx}dx\right|_{t=2}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial t}\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2e\pi k)^t}\i\infty x^{t-1}e^{-x}dx\right|_{t=2}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\Gamma(t)\zeta(t)}{(2e\pi)^t} \right|_{t=2}\\ &=&\left.\l\frac{\Gamma(t)\zeta(t)}{(2e\pi)^t}\log2e\pi-\frac{\Gamma(t)\zeta'(t)}{(2e\pi)^t}-\frac{\Gamma(t)\zeta(t)\psi(t)}{(2e\pi)^t} \r \right|_{t=2}\\ &=&\frac{\z(2)}{4e^2\pi^2}\l\log2\pi+1+12\log A-\gamma-\log2\pi-1+\gamma \r\\ &=&\frac{12\log A}{24e^2}\\ &=&\frac{\log A}{2e^2}\qed \end{eqnarray*} $
以上よりこの積分が証明されました。
