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積分解説29

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

積分botに投下された積分です。

https://twitter.com/integralsbot/status/1357489353732182017?s=21

$$ \displaystyle \int_0^\infty\frac{x\log x}{1-e^{2e\pi x}}dx=\frac{\log A}{2e^2} $$

ここでの$A$ グレイシャー・キンケリンの定数 です。

また、この積分を解くにあたり、

$\d\z'(2)=\z(2)\l\log2\pi+\gamma-12\log A \r $

$\d\psi(2)=1-\gamma $

を使用します。$\psi(x)$ ディガンマ函数 です。

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty\frac{x\log x}{1-e^{2e\pi x}}dx\\ &=&-\int_0^\infty x\log x\frac{e^{-2e\pi x}}{1-e^{-2e\pi x}}dx\\ &=&-\int_0^\infty x\log x\sum_{k=1}^\infty e^{-2e\pi kx}dx\\ &=&-\sum_{k=1}^\infty\i\infty xe^{-2e\pi kx}\log xdx\\ &=&\left.-\sum_{k=1}^\infty\i\infty\frac{\partial}{\partial t}x^{t-1}e^{-2\pi kx}dx\right|_{t=2}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial t}\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2e\pi k)^t}\i\infty x^{t-1}e^{-x}dx\right|_{t=2}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\Gamma(t)\zeta(t)}{(2e\pi)^t} \right|_{t=2}\\ &=&\left.\l\frac{\Gamma(t)\zeta(t)}{(2e\pi)^t}\log2e\pi-\frac{\Gamma(t)\zeta'(t)}{(2e\pi)^t}-\frac{\Gamma(t)\zeta(t)\psi(t)}{(2e\pi)^t} \r \right|_{t=2}\\ &=&\frac{\z(2)}{4e^2\pi^2}\l\log2\pi+1+12\log A-\gamma-\log2\pi-1+\gamma \r\\ &=&\frac{12\log A}{24e^2}\\ &=&\frac{\log A}{2e^2}\qed \end{eqnarray*} $

以上よりこの積分が証明されました。

投稿日:202126

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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