積分解説29

積分botに投下された積分です。

https://twitter.com/integralsbot/status/1357489353732182017?s=21

ここでの$A$は グレイシャー・キンケリンの定数 です。

また、この積分を解くにあたり、

${\displaystyle {\zeta }^{\prime }(2)=\zeta (2)(\log 2\pi +\gamma -12\log A)}$

${\displaystyle \psi (2)=1-\gamma }$

を使用します。$\psi (x)$は ディガンマ函数 です。

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\log x}{1-e^{2e\pi x}}dx\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\log x\frac{e^{-2e\pi x}}{1-e^{-2e\pi x}}dx\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\log x\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2e\pi kx}dx\\ & =& -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-2e\pi kx}\log xdx\\ & =& {-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\partial }{\partial t}{x}^{t-1}{e}^{-2\pi kx}dx|}_{t=2}\\ & =& {-\frac{\partial }{\partial t}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2e\pi k{)}^t}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{t-1}{e}^{-x}dx|}_{t=2}\\ & =& {-\frac{\partial }{\partial t}\frac{\mathrm{\Gamma }(t)\zeta (t)}{(2e\pi {)}^t}|}_{t=2}\\ & =& {(\frac{\mathrm{\Gamma }(t)\zeta (t)}{(2e\pi {)}^t}\log 2e\pi -\frac{\mathrm{\Gamma }(t){\zeta }^{\prime }(t)}{(2e\pi {)}^t}-\frac{\mathrm{\Gamma }(t)\zeta (t)\psi (t)}{(2e\pi {)}^t})|}_{t=2}\\ & =& \frac{\zeta (2)}{4e^2{\pi }^2}(\log 2\pi +1+12\log A-\gamma -\log 2\pi -1+\gamma )\\ & =& \frac{12\log A}{24e^2}\\ & =& \frac{\log A}{2e^2}◻\end{array}$

以上よりこの積分が証明されました。