斜方投射された物体が原点から一番離れる時刻

問題

$0 < \Theta \le \frac{\pi}{2}$, $v_0>0$, $g>0$ が与えられたとき、初速度 $(v_0\cos\Theta, v_0\sin\Theta)$ で原点から投げられた球が、原点と同じ高さの地面へと着弾するまでの過程の中で、原点から一番離れるときを調べたい。つまり、$\left|\left|\left(tv_{0}\cos\Theta,\ tv_{0}\sin\Theta-\frac{gt^{2}}{2}\right)\right|\right|$ の $0 \le t \le \frac{2}{g}v_{0}\sin\Theta$ での最大値を与える $t$ を求めたい。

実験

https://www.desmos.com/calculator/mespzsyhea?lang=ja で試せる。

ゴリ押す

$T = \frac{v_{0}}{2g}\sin\Theta$と置くと$0 \le t \le 4T$で考えることになる。簡単だが面倒な計算により
$\frac{d}{dt} \left(\left|\left|\left(tv_{0}\cos\Theta,\ tv_{0}\sin\Theta-\frac{gt^{2}}{2}\right)\right|\right|^2\right) = g^2t\left(\left(t-3T\right)^{2}-T^2\left(9-\frac{8}{\sin^{2}\Theta}\right)\right)$
が分かる。

$0<\Theta \le \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ のとき

$0<\Theta \le \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 1.230959\dots$ であるときはノルム2乗の時間微分は常に非負であり、$\left|\left|\left(tv_{0}\cos\Theta,\ tv_{0}\sin\Theta-\frac{gt^{2}}{2}\right)\right|\right|^2$ が広義単調増加するのだから $t = 4T$ のときが最大。

$ \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \le \Theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき

$T_{\pm}=\left(3\pm\sqrt{9-\frac{8}{\sin^{2}\Theta}}\right)T$ とおいてやるとノルム2乗の時間微分は $g^2(t-T_-)(t-T_+)t$ と書ける。$0 \le \sqrt{9-\frac{8}{\sin^{2}\Theta}} \le 1$ なのだから必ず $0 \le T_{-} \le T_{+} \le 4T$ であり、 ノルム2乗は$0\le t\le T_{-}$ で広義単調増加、$T_{-} \le t \le T_{+}$ で広義単調減少、$T_{+} \le t \le 4T$ で広義単調増加する。ということで $T_{-}$ での値と $4T$ での値を比較すればよい。 $T_{-}$ での値と $4T$ での値が等しくなる条件は $0 = g^2 \int_{T_{-}}^{4T}(t-T_{-})(t-T_{+})tdt$。ここで $Z = 2\cot^2\Theta$ とおくと $T_{\pm}=\left(3\pm\sqrt{1-4Z}\right)T$ であって、求めるべきは
$ 0 = \int_{3-\sqrt{1-4Z}}^{4} (u^3 - 6u^2 + u(8+4Z))du $を満たす$Z$。$U = 3-\sqrt{1-4Z}$ とおいたときに $U^2 = 6U-4Z-8$ であることに注意して計算すると、

\begin{align*}0 &=\left(\frac{1}{4}4^4 -2\cdot 4^{3}+\frac{1}{2}4^{2}\left(8+4Z\right)\right) - \left(\frac{1}{4}U^4 -2U^{3}+\frac{1}{2}U^{2}\left(8+4Z\right)\right) \\ &= \dots\\ &= 4Z^{2}+36Z-8UZ+2U-8\\ &= 4Z^{2}+36Z+2(3-\sqrt{1-4Z})(1-4Z)-8\\ &= 4Z^{2}+36Z+6(1-4Z)-2(1-4Z)^{3/2}-8\\ &= 4Z^{2}+12Z-2-2(1-4Z)^{3/2}\\ \end{align*}

したがって $2Z^2+6Z-1 = (1-4Z)^{3/2}$ を解きたい。両辺を2乗して得られるのは
\begin{align*} (2Z^2+6Z-1)^2 &= (1-4Z)^{3}\\ 4Z^4 + 24Z^3-4Z^2+36Z^2-12Z+1 &= -64Z^3+48Z^2-12Z+1\\ 4Z^4 +88Z^3-16Z^2 &= 0\\ 4Z^2(Z^2 +22Z-4) &= 0\\ \end{align*}
これの解は $Z=0, -11\pm\sqrt{125}$

ここから、$\Theta = \sin^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}}$ のとき $t = T_{-}$ と $t = 4T$ でのノルムが一致することが分かる。

結論

• $0\le\Theta \le \sin^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{3}$なら単調増加性により$t =\frac{2v_{0}}{g}\sin\Theta$のときが最大
• $\sin^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{3}< \Theta \le \sin^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}}$ だと単調増加性はないけどそれでも$t = \frac{2v_{0}}{g}\sin\Theta$のときに最大値をとる
• $\sin^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}} \le \Theta \le \frac{\pi}{2}$ だと $t = \left(3-\sqrt{9-\frac{8}{\sin^{2}\Theta}}\right)\frac{v_{0}}{2g}\sin\Theta$のときに最大値をとる