斜方投射された物体が原点から一番離れる時刻

問題

$0<\mathrm{\Theta }\le \frac{\pi }{2}$, $v_0>0$, $g>0$ が与えられたとき、初速度 $(v_0\cos \mathrm{\Theta },v_0\sin \mathrm{\Theta })$ で原点から投げられた球が、原点と同じ高さの地面へと着弾するまでの過程の中で、原点から一番離れるときを調べたい。つまり、$\left|\left|(t{v}_0\cos \mathrm{\Theta },t{v}_0\sin \mathrm{\Theta }-\frac{g{t}^2}{2})\right|\right|$ の $0\le t\le \frac{2}{g}{v}_0\sin \mathrm{\Theta }$ での最大値を与える $t$ を求めたい。

実験

https://www.desmos.com/calculator/mespzsyhea?lang=ja で試せる。

ゴリ押す

$T=\frac{v_0}{2g}\sin \mathrm{\Theta }$と置くと$0\le t\le 4T$で考えることになる。簡単だが面倒な計算により
$\frac{d}{dt}\left({\left|\left|(t{v}_0\cos \mathrm{\Theta },t{v}_0\sin \mathrm{\Theta }-\frac{g{t}^2}{2})\right|\right|}^2\right)=g^{2}t({(t-3T)}^2-T^2(9-\frac{8}{{\sin }^2\mathrm{\Theta }}))$
が分かる。

$0<\mathrm{\Theta }\le {\sin }^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ のとき

$0<\mathrm{\Theta }\le {\sin }^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=1.230959\dots$ であるときはノルム2乗の時間微分は常に非負であり、${\left|\left|(t{v}_0\cos \mathrm{\Theta },t{v}_0\sin \mathrm{\Theta }-\frac{g{t}^2}{2})\right|\right|}^2$ が広義単調増加するのだから $t=4T$ のときが最大。

${\sin }^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\le \mathrm{\Theta }\le \frac{\pi }{2}$ のとき

$T_{\pm }=(3\pm \sqrt{9-\frac{8}{{\sin }^2\mathrm{\Theta }}})T$ とおいてやるとノルム2乗の時間微分は $g^2(t-T_{-})(t-T_{+})t$ と書ける。$0\le \sqrt{9-\frac{8}{{\sin }^2\mathrm{\Theta }}}\le 1$ なのだから必ず $0\le T_{-}\le T_{+}\le 4T$ であり、 ノルム2乗は$0\le t\le T_{-}$ で広義単調増加、$T_{-}\le t\le T_{+}$ で広義単調減少、$T_{+}\le t\le 4T$ で広義単調増加する。ということで $T_{-}$ での値と $4T$ での値を比較すればよい。 $T_{-}$ での値と $4T$ での値が等しくなる条件は $0=g^2{\int }_{T_{-}}^{4T}(t-T_{-})(t-T_{+})tdt$。ここで $Z=2{\cot }^2\mathrm{\Theta }$ とおくと $T_{\pm }=(3\pm \sqrt{1-4Z})T$ であって、求めるべきは
$0={\int }_{3-\sqrt{1-4Z}}^4(u^3-6u^2+u(8+4Z))du$を満たす$Z$。$U=3-\sqrt{1-4Z}$ とおいたときに $U^2=6U-4Z-8$ であることに注意して計算すると、

$$\begin{array}{rl}0& =(\frac{1}{4}{4}^4-2\cdot 4^3+\frac{1}{2}{4}^2(8+4Z))-(\frac{1}{4}{U}^4-2U^3+\frac{1}{2}{U}^2(8+4Z))\\ & =\dots \\ & =4Z^2+36Z-8UZ+2U-8\\ & =4Z^2+36Z+2(3-\sqrt{1-4Z})(1-4Z)-8\\ & =4Z^2+36Z+6(1-4Z)-2(1-4Z{)}^{3/2}-8\\ & =4Z^2+12Z-2-2(1-4Z{)}^{3/2}\end{array}$$

したがって $2Z^2+6Z-1=(1-4Z{)}^{3/2}$ を解きたい。両辺を2乗して得られるのは
$$\begin{array}{rl}(2Z^2+6Z-1{)}^2& =(1-4Z{)}^3\\ 4Z^4+24Z^3-4Z^2+36Z^2-12Z+1& =-64Z^3+48Z^2-12Z+1\\ 4Z^4+88Z^3-16Z^2& =0\\ 4Z^2(Z^2+22Z-4)& =0\end{array}$$
これの解は $Z=0,-11\pm \sqrt{125}$

ここから、$\mathrm{\Theta }={\sin }^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}}$ のとき $t=T_{-}$ と $t=4T$ でのノルムが一致することが分かる。

結論

• $0\le \mathrm{\Theta }\le {\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{3}$なら単調増加性により$t=\frac{2v_0}{g}\sin \mathrm{\Theta }$のときが最大
• ${\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{3}<\mathrm{\Theta }\le {\sin }^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}}$ だと単調増加性はないけどそれでも$t=\frac{2v_0}{g}\sin \mathrm{\Theta }$のときに最大値をとる
• ${\sin }^{-1}\sqrt{\frac{9+5\sqrt{5}}{22}}\le \mathrm{\Theta }\le \frac{\pi }{2}$ だと $t=(3-\sqrt{9-\frac{8}{{\sin }^2\mathrm{\Theta }}})\frac{v_0}{2g}\sin \mathrm{\Theta }$のときに最大値をとる