逆三角関数たちの微分

逆関数の微分法

$f(x) が単調関数で微分可能ならば (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} ~~~~~~~(f'(x) \neq 0)$　
　が成り立つ

次のように表すと直感的にわかりやすい $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} 　$$

$\arcsin x の微分$

$y = \arcsin x \Longleftrightarrow x = \sin y ~~~~~~~(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2},-1 \leq x \leq 1)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ~~~~(-1 < x < 1)$

$\because \cos y の符号は-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}の範囲で正である$

$\arccos x$の微分

$y = \arccos x \Longleftrightarrow x = \cos y ~~~~~~~(0 \leq y \leq \pi, -1 \leq x \leq 1)$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\sin y}= \frac{-1}{\sqrt{1-\cos^{2}y}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} ~~~~(-1 < x < 1)$

$\because \sin y の符号は0 < y < \piの範囲で正である$

$\arctan x$の微分

$y = \arctan x \Longleftrightarrow x = \tan y ~~~~~~~(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^{2}y}}= \cos^{2}y = \frac{1}{1+\tan^{2}y} = \frac{1}{1+x^{2}}$

数学をやるモチベーションになるので楽しみながらやっていけたらなと思います。