逆三角関数たちの微分

逆関数の微分法

$f(x)が単調関数で微分可能ならば(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))=\frac{1}{f^{\prime }(x)}(f^{\prime }(x)\ne 0)$　
　が成り立つ

次のように表すと直感的にわかりやすい $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

$\arcsin xの微分$

$y=\arcsin x⟺x=\sin y(-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2},-1\le x\le 1)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$

$\because \cos yの符号は-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}の範囲で正である$

$\arccos x$の微分

$y=\arccos x⟺x=\cos y(0\le y\le \pi ,-1\le x\le 1)$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\sin y}=\frac{-1}{\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$

$\because \sin yの符号は0<y<\pi の範囲で正である$

$\arctan x$の微分

$y=\arctan x⟺x=\tan y(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2})$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{2}y}}={\cos }^{2}y=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$

数学をやるモチベーションになるので楽しみながらやっていけたらなと思います。