2

あるsl(2;C)の非可換変形とその表現

115
5
$$$$
素人考え

ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見にくい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$とその表現

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})= \lbrace X \in\boldsymbol{gl}_2( \mathbb{C}) |tr(X) = 0\rbrace $

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$は基底$e,h,f$$3$つの関係式を持つ、$3$次元リー環です。
$e= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , h=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,f=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ [h, e] = 2e, [e, f] = h, [h, f] = −2f$

表現

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$は次のような、多項式環$\mathbb{C} \lbrack x \rbrack $上への表現を持ちます。
$$\lambda\in\mathbb{C}$$
$$\pi_\lambda(e) = \frac{d}{dx} ,\pi_\lambda(h) = -2x\frac{d}{dx}+\lambda ,\pi_\lambda(f) = -x^2\frac{d}{dx}+\lambda x $$

多項式環$\mathbb{C} \lbrack x \rbrack $の基底 $\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0} $に対して、
$\pi_\lambda(e) ,\pi_\lambda(h) ,\pi_\lambda(f) $は次のように作用する。

$$\pi_\lambda(e)(x^n)=nx^{n-1} ,\pi_\lambda(h) (x^n)=(\lambda -2n)x^{n} ,\pi_\lambda(f) (x^n)=(\lambda -n)x^{n+1}$$

$\lambda$が非負整数の場合、表現$\pi_\lambda$$\lbrace x^n \rbrace_{\lambda \geq n \geq0} $が生成する部分空間を有限次元既約部分表現として持つ。

以上は参照した(コピペ)(アイディアを得た)この論文より。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-arakawa.pdf

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$の非可換変形

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_J$の定義

$E,H,F,J$を次の関係式を満たす非可換な元とし、
$$EF-FE=\frac{JH+HJ}{2},\\ HE-EH=JE+EJ,\\HF-FH=-JF-FJ$$
$E,H,F,J,1$$\mathbb{C}$上生成する。($1$はすべての元と可換)
単位結合非可換環を$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_J$と定義する。
$J$$1$のとき$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$と一致する。
さらに
$JH-HJ=0$を満たすとき$\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$とする。

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_J$の表現

表現の定義

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_J$は次のような、多項式環$\mathbb{C} \lbrack x \rbrack $上への表現を持ちます。

多項式環$\mathbb{C} \lbrack x \rbrack $$\mathbb{C}$線形作用素$A$を用います。
$$\lambda\in\mathbb{C}$$

$$\pi_{\lambda,A}(E) = A\\$$
$$\pi_{\lambda,A}(H) = -Ax-xA+\lambda \\$$
$$ \pi_{\lambda,A}(F) = -xAx+\lambda x \\ $$ $$\pi_{\lambda,A}(J)=Ax-xA $$

表現になっているか確認

$$(1)EF-FE=\frac{JH+HJ}{2}$$
$(1)$の左辺
$$A(-xAx+\lambda x)-(-xAx+\lambda x)A=-AxAx+A\lambda x+xAxA-\lambda xA=\\xAxA-AxAx+\lambda J$$
$(1)$の右辺
$$\frac{1}{2}((Ax-xA)(-Ax-xA+\lambda)+(-Ax-xA+\lambda)(Ax-xA))=\\ \frac{1}{2}(-AxAx-Ax^2A+Ax\lambda+xAAx+xAxA-xA\lambda+(-AxAx+Ax^2A-xAAx+xAxA+\lambda Ax-\lambda xA))=\\ \frac{1}{2}(-2AxAx+Ax\lambda+2xAxA-xA\lambda+\lambda Ax-\lambda xA)=\\ xAxA-AxAx+\lambda J$$

$$(2)HE-EH=JE+EJ$$
$(2)$の左辺
$$(-Ax-xA+\lambda)A-A(-Ax-xA+\lambda)=-AxA-xAA+\lambda A+AAx+AxA-\lambda A=\\ AAx-xAA$$

$(2)$の右辺
$$(Ax-xA)A+A(Ax-xA)=AxA-xAA+AAx-AxA=\\AAx-xAA$$

$$(3)HF-FH=-JF-FJ$$
$(3)$の左辺
$$(-Ax-xA+\lambda)(-xAx+\lambda x)-(-xAx+\lambda x)(-Ax-xA+\lambda)=\\ (Ax^2Ax-\lambda Ax^2+xAxAx-\lambda xAx -\lambda x Ax+\lambda^2 x)-\\ (xAxAx+xAx^2A-\lambda xAx-\lambda xAx-\lambda x^2A+\lambda^2 x)=\\ Ax^2Ax-\lambda Ax^2 -xAx^2A+\lambda x^2 A$$

$(3)$の右辺
$$-(Ax-xA)(-xAx+\lambda x)-(-xAx+\lambda x)(Ax-xA)=\\ -(-Ax^2Ax+\lambda Ax^2+xAxAx-\lambda xAx)-(-xAxAx+xAx^2A+\lambda xAx-\lambda x^2A)=\\ (Ax^2Ax-\lambda Ax^2-xAxAx+\lambda xAx)+(xAxAx-xAx^2A-\lambda xAx+\lambda x^2A)=\\ Ax^2Ax-\lambda Ax^2-xAx^2A+\lambda x^2A\\ $$

$xA$の固有ベクトルが$\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0}$の場合(縮退なし)

$A$$\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0}$に作用して$\lbrace a_nx^{n-1} \rbrace_{n \geq0}$($a_0=0$)となるとする。
このとき、$\pi_{\lambda,A}$$\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$の表現となる。
$\pi_{\lambda,A}(E) , \pi_{\lambda,A}(H) , \pi_{\lambda,A}(F) , \pi_{\lambda,A}(J)$$\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0}$に次のように作用する。
$$\pi_{\lambda,A}(E) (x^n)= Ax^n=a_nx^{n-1}\\ \pi_{\lambda,A}(H)(x^n) = (-Ax-xA+\lambda)(x^n)=(\lambda-a_{n+1}-a_n)x^n \\ \pi_{\lambda,A}(F)(x^n) = (-xAx+\lambda x) (x^n)=(\lambda-a_{n+1})x^{n+1}\\ \pi_{\lambda,A}(J)(x^n)=(Ax-xA)(x^n)=(a_{n+1}-a_n)x^n\\ \pi_{\lambda,A}(JH-HJ)(x^n)=0 $$

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$の有限次元表現

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$の有限次元表現

$A$$\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0}$に作用して$\lbrace a_nx^{n-1} \rbrace_{n \geq0}$($a_0=0$)となるとする。
さらに、$ \exists \ m \ \ \lambda =a_{m+1}$であるとき、
$\pi_{\lambda,A}$$\lbrace x^n \rbrace_{m \geq n \geq0} $が生成する部分空間を有限次元部分表現として持つ。
この有限次元部分表現を$P_{\lambda,A}$とする。

$ \boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$の有限次元既約表現の予想

$(1)A$$\lbrace x^n \rbrace_{n \geq0}$に作用して$\lbrace a_nx^{n-1} \rbrace_{n \geq0}$となる。
$(2)$$a_n=0 \Longleftrightarrow n=0$
$(3)$$ \exists \ m \ \ \lambda =a_{m+1}$
$(4)$$|a_{n+1}| \geq |a_n|$であるとする。($|x|$は絶対値)
このとき
$P_{\lambda,A}$$\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})_{J,0}$の有限次元既約表現である。

$(4)$
$$P_{n,m}x^k= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k=n なら x^m\\ k=m なら x^n\\ k \neq m \ \ k\neq nなら x^k \end{array} \right. \end{eqnarray}$$が逆作用素を持つ、線形作用素のため。

形式指標

$P_{\lambda,A}$において、$H,J$は次数を保つか$0$にする。
$ P_{\lambda,A}^{ \mu, \nu }=\lbrace {p(x)\in P_{\lambda,A}|Hp(x)= \mu p(x),Jp(x)= \nu p(x)} \rbrace $
$$ch(P_{\lambda,A})= \sum_{\mu, \nu \in \mathbb{C} } dim(P_{\lambda,A}^{ \mu, \nu })q^\mu p^\nu$$

交換関係、反交換関係逆転作用素

$E,H,F,J$の関係式を
交換関係$[A,B]=AB-BA$,
反交換関係$ \lbrace A,B \rbrace =AB+BA$を用いて書き直すと、
$$(1)[E,F]=\frac{1}{2}\lbrace J,H \rbrace $$
$$(2)[H,E]=\lbrace J,E \rbrace $$
$$(3)[H,F]=-\lbrace J,F \rbrace $$
$$(4)[J,H]=0$$

となる。
いま$(2)と(3)$の交換関係を反交換関係に、反交換関係を交換関係に変換し、
さらに$JをHにHをJ$に変換させると。
この変換で関係式は不変

あとがきに代えて妄想

妄想
$E,H,F,J$の関係式や$\pi_{\lambda,A}$の式には反交換子が多用されているため。
外積代数上でも表現を持つのではないか?

妄想2
この環やこの環の拡大の表現を用いて、
$$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{a_n})$$の公式のようなものを作れたら嬉しい。

投稿日:202126
更新日:2023114

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

kzaukzau
kzaukzau
21
2607

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中