あるsl(2;C)の非可換変形とその表現

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$とその表現

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})=\{X\in \mathit{g}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})|tr(X)=0\}$

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$は基底$e,h,f$と$3$つの関係式を持つ、$3$次元リー環です。
$$\begin{gathered} e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right) \\ [h,e]=2e,[e,f]=h,[h,f]=-2f \end{gathered}$$

表現

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$は次のような、多項式環$\mathbb{C}[x]$上への表現を持ちます。
$$\lambda \in \mathbb{C}$$
$${\pi }_{\lambda }(e)=\frac{d}{dx},{\pi }_{\lambda }(h)=-2x\frac{d}{dx}+\lambda ,{\pi }_{\lambda }(f)=-x^2\frac{d}{dx}+\lambda x$$

多項式環$\mathbb{C}[x]$の基底 $\{x^n{\}}_{n\ge 0}$に対して、
${\pi }_{\lambda }(e),{\pi }_{\lambda }(h),{\pi }_{\lambda }(f)$は次のように作用する。

$${\pi }_{\lambda }(e)(x^n)=n{x}^{n-1},{\pi }_{\lambda }(h)(x^n)=(\lambda -2n)x^n,{\pi }_{\lambda }(f)(x^n)=(\lambda -n)x^{n+1}$$

$\lambda$が非負整数の場合、表現${\pi }_{\lambda }$は$\{x^n{\}}_{\lambda \ge n\ge 0}$が生成する部分空間を有限次元既約部分表現として持つ。

以上は参照した（コピペ）（アイディアを得た）この論文より。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-arakawa.pdf

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$の非可換変形

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_J$の定義

$E,H,F,J$を次の関係式を満たす非可換な元とし、
$$\begin{gathered} EF-FE=\frac{JH+HJ}{2}, \\ HE-EH=JE+EJ, \\ HF-FH=-JF-FJ \end{gathered}$$
$E,H,F,J,1$が$\mathbb{C}$上生成する。($1$はすべての元と可換)
単位結合非可換環を$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_J$と定義する。
$J$が$1$のとき$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$と一致する。
さらに
$JH-HJ=0$を満たすとき$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_{J,0}$とする。

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_J$の表現

表現の定義

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_J$は次のような、多項式環$\mathbb{C}[x]$上への表現を持ちます。

多項式環$\mathbb{C}[x]$上$\mathbb{C}$線形作用素$A$を用います。
$$\lambda \in \mathbb{C}$$

$${\pi }_{\lambda ,A}(E)=A$$
$${\pi }_{\lambda ,A}(H)=-Ax-xA+\lambda$$
$${\pi }_{\lambda ,A}(F)=-xAx+\lambda x$$ $${\pi }_{\lambda ,A}(J)=Ax-xA$$

表現になっているか確認

$xA$の固有ベクトルが$\{x^n{\}}_{n\ge 0}$の場合（縮退なし）

$A$は$\{x^n{\}}_{n\ge 0}$に作用して$\{a_n{x}^{n-1}{\}}_{n\ge 0}$($a_0=0$)となるとする。
このとき、${\pi }_{\lambda ,A}$は$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_{J,0}$の表現となる。
${\pi }_{\lambda ,A}(E),{\pi }_{\lambda ,A}(H),{\pi }_{\lambda ,A}(F),{\pi }_{\lambda ,A}(J)$は$\{x^n{\}}_{n\ge 0}$に次のように作用する。
$$\begin{gathered} {\pi }_{\lambda ,A}(E)(x^n)=A{x}^n=a_n{x}^{n-1} \\ {\pi }_{\lambda ,A}(H)(x^n)=(-Ax-xA+\lambda )(x^n)=(\lambda -a_{n+1}-a_n)x^n \\ {\pi }_{\lambda ,A}(F)(x^n)=(-xAx+\lambda x)(x^n)=(\lambda -a_{n+1})x^{n+1} \\ {\pi }_{\lambda ,A}(J)(x^n)=(Ax-xA)(x^n)=(a_{n+1}-a_n)x^n \\ {\pi }_{\lambda ,A}(JH-HJ)(x^n)=0 \end{gathered}$$

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_{J,0}$の有限次元表現

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_{J,0}$の有限次元表現

$A$は$\{x^n{\}}_{n\ge 0}$に作用して$\{a_n{x}^{n-1}{\}}_{n\ge 0}$($a_0=0$)となるとする。
さらに、$\mathrm{\exists }m\lambda =a_{m+1}$であるとき、
${\pi }_{\lambda ,A}$は$\{x^n{\}}_{m\ge n\ge 0}$が生成する部分空間を有限次元部分表現として持つ。
この有限次元部分表現を$P_{\lambda ,A}$とする。

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}{)}_{J,0}$の有限次元既約表現の予想

$（4）$は
$$P_{n,m}{x}^k=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}k=nなら x^m\\ k=mなら x^n\\ k\ne mk\ne nなら x^k\end{array}\end{array}$$が逆作用素を持つ、線形作用素のため。

形式指標

$P_{\lambda ,A}$において、$H,J$は次数を保つか$0$にする。
$P_{\lambda ,A}^{\mu ,\nu }=\{p(x)\in P_{\lambda ,A}|Hp(x)=\mu p(x),Jp(x)=\nu p(x)\}$
$$ch(P_{\lambda ,A})=\sum _{\mu ,\nu \in \mathbb{C}}dim(P_{\lambda ,A}^{\mu ,\nu })q^{\mu }{p}^{\nu }$$

交換関係、反交換関係逆転作用素

$E,H,F,J$の関係式を
交換関係$[A,B]=AB-BA$,
反交換関係$\{A,B\}=AB+BA$を用いて書き直すと、
$$(1)[E,F]=\frac{1}{2}\{J,H\}$$
$$(2)[H,E]=\{J,E\}$$
$$(3)[H,F]=-\{J,F\}$$
$$(4)[J,H]=0$$

となる。
いま$(2)と(3)$の交換関係を反交換関係に、反交換関係を交換関係に変換し、
さらに$JをHにHをJ$に変換させると。
この変換で関係式は不変

あとがきに代えて妄想