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大学数学基礎解説
文献あり

一般化ヘロンの公式:Cayley-Menger行列式

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$$\newcommand{a}[0]{\vec{a}} \newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\vec{b}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{ep}[0]{\epsilon} \newcommand{eq}[0]{\equiv} \newcommand{even}[0]{\mathrm{even}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{lra}[0]{\leftrightarrow} \newcommand{m}[1]{\pmod{#1}} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{odd}[0]{\mathrm{odd}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{prime}[0]{\mathrm{prime}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{resp}[0]{\mathrm{resp}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\boldsymbol{t}} \newcommand{th}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{x}[0]{\chi} \newcommand{x}[0]{\boldsymbol{x}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではヘロンの公式を$n$次元に一般化した公式を紹介します。
 まずヘロンの公式とは以下の公式のことを言うのでした。

ヘロンの公式

 三辺の長さがそれぞれ$a,b,c$なる三角形の面積$S$について
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\l(s=\frac{a+b+c}2\r)$$
が成り立つ。

 そしてこれを$n$次元に一般化した公式:ケイリー・メンガー行列式は以下のようになります。

Cayley-Menger 行列式

 $n$個の線形独立なベクトル$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$によって張られる錐体の体積$V$について
\begin{eqnarray} V^2&=&\frac{\det(\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j)_{1{\leq}i,j{\leq}n}}{(n!)^2} \\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2} \det\begin{pmatrix} 0&1&1&1&{\cdots}&1 \\1&0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&{\cdots}&d_{0,n}^2 \\1&d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&{\cdots}&d_{1,n}^2 \\1&d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&{\cdots}&d_{2,n}^2 \\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\1&d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&{\cdots}&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}
が成り立つ。ただし$d_{0,k}=|\x_k|,\;d_{i,j}=|\x_i-\x_j|$とした。

 実際に例えば$n=2$(三角形)のときにこれを計算すると
\begin{eqnarray} S^2&=&-\frac{1}{2^2\c2^2}\det \begin{pmatrix} 0&1&1&1 \\1&0&a^2&b^2 \\1&a^2&0&c^2 \\1&b^2&c^2&0 \end{pmatrix} \\&=&\frac{1}{2^4}((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)) \\&=&s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray}
とヘロンの公式が得られたり、
$$S^2{=}\frac{1}{2^2} \det\begin{pmatrix} \a\c\a&\a\c\b \\\b\c\a&\b\c\b \end{pmatrix} {=}\frac{1}{2^2}(|\a|^2|\b|^2{-}(\a\cdot\b)^2)$$
とよく知られた公式も出てきます。
 ちなみに$n=3$(三角錐)のときは
\begin{eqnarray} 36V^2&=& \det\begin{pmatrix} |\x_1|^2&\x_1\c\x_2&\x_1\c\x_3 \\\x_1\c\x_2&|\x_2|^2&\x_2\c\x_3 \\\x_1\c\x_3&\x_2\c\x_3&|\x_3|^2 \end{pmatrix} \\&=& |\x_1|^2|\x_2|^2|\x_3|^2 {-}|\x_1|^2(\x_2\c\x_3)^2 {-}|\x_2|^2(\x_3\c\x_1)^2 {-}|\x_3|^3(\x_1\c\x_2)^2 {+}2(\x_1\c\x_2)(\x_2\c\x_3)(\x_3\c\x_1) \end{eqnarray}
なんていう公式が成り立ったりします。

証明

 $\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$が張る錐体と平行体
$$\l\{\sum^n_{k=1}t_k\x_k\mid t_k\geq0,\sum^n_{k=1}t_k=1\r\},\quad \l\{\sum^n_{k=1}t_k\x_k\mid t_k\in[0,1]\r\}$$
の体積をそれぞれ$V,V'$とおくと
$$V=\frac{V'}{n!}$$
が成り立つ。

 適当な線形変換によって$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$は正規直交基底であるものとし
$$P_n=\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^n_{k=1}t_k=1}}d\t,\quad C_n=\int_{[0,1]^n}d\t=1$$
を考える。このとき
\begin{align} P_n &=\int_0^1\left(\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^{n-1}_{k=1}t_k=1-t_n}}d\t'\right)dt_n\\ &=\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^{n-1}_{k=1}t_k=1}}d\t'\int_0^1(1-t_n)^{n-1}dt_n&(t_k\mapsto(1-t_n)t_k)\\ &=\frac{P_{n-1}}n \end{align}
なので$P_1=1=C_n$に注意すると
$$P_n=P_1\prod^n_{k=2}\frac1k=\frac{C_n}{n!}$$
を得る。

 あとは
$$V'=|\det\begin{pmatrix}\x_1&\x_2&\cdots&\x_n\end{pmatrix}|$$
を変形していく。
\begin{eqnarray} V^2&=&\left(\frac{V'}{n!}\right)^2 \\&=&\frac{1}{(n!)^2}\det (\begin{pmatrix} \x_1&\x_2&\cdots&\x_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} \x_1&\x_2&\cdots&\x_n \end{pmatrix}) \\&=&\frac{1}{(n!)^2}\det(\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j)_{1{\leq}i,j{\leq}n}\quad\cdots(*) \\&=&\frac{1}{2^n(n!)^2}\det(2\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j) \\&=&\frac{1}{2^n(n!)^2}\det(d_{0,i}^2+d_{0,j}^2-d_{i,j}^2) \\&=&\frac{(-1)^n}{2^n(n!)^2}\det(d_{i,j}^2-d_{0,i}^2-d_{0,j}^2) \\&=&\frac{(-1)^{3n+3}}{2^n(n!)^2} \det\begin{pmatrix} 0&0&0&\cdots&0&1 \\0&-2d_{0,1}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&0 \\0&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&-2d_{0,2}^2&\cdots&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&0 \\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\0&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&\cdots&-2d_{0,n}^2&0 \\1&0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix} \\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2} \det\begin{pmatrix} 0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&\cdots&d_{0.n}^2&1 \\d_{0,1}^2&-2d_{0,1}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&0 \\d_{0,2}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&-2d_{0,2}^2&\cdots&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&0 \\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\d_{0,n}^2&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&\cdots&-2d_{0,n}^2&0 \\1&0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix} \\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2} \det\begin{pmatrix} 0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&\cdots&d_{0.n}^2&1 \\d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2&1 \\d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&\cdots&d_{2,n}^2&1 \\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&\cdots&0&1 \\1&1&1&\cdots&1&0 \end{pmatrix} \\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2} \det\begin{pmatrix} 0&1&1&1&{\cdots}&1 \\1&0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&{\cdots}&d_{0,n}^2 \\1&d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&{\cdots}&d_{1,n}^2 \\1&d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&{\cdots}&d_{2,n}^2 \\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots} \\1&d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&{\cdots}&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}
といった具合である。

参考文献

投稿日:2021213
更新日:11日前

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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