一般化ヘロンの公式：Cayley-Menger行列式
はじめに
この記事ではヘロンの公式を$n$次元に一般化した公式を紹介します。
まずヘロンの公式とは以下の公式のことを言うのでした。
三辺の長さがそれぞれ$a,b,c$なる三角形の面積$S$について
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\l(s=\frac{a+b+c}2\r)$$
が成り立つ。
そしてこれを$n$次元に一般化した公式：ケイリー・メンガー行列式は以下のようになります。
$n$個の線形独立なベクトル$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$によって張られる錐体の体積$V$について
\begin{eqnarray}
V^2&=&\frac{\det(\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j)_{1{\leq}i,j{\leq}n}}{(n!)^2}
\\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2}
\det\begin{pmatrix}
0&1&1&1&{\cdots}&1
\\1&0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&{\cdots}&d_{0,n}^2
\\1&d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&{\cdots}&d_{1,n}^2
\\1&d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&{\cdots}&d_{2,n}^2
\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}
\\1&d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&{\cdots}&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
が成り立つ。ただし$d_{0,k}=|\x_k|,\;d_{i,j}=|\x_i-\x_j|$とした。
実際に例えば$n=2$(三角形)のときにこれを計算すると
\begin{eqnarray}
S^2&=&-\frac{1}{2^2\c2^2}\det
\begin{pmatrix}
0&1&1&1
\\1&0&a^2&b^2
\\1&a^2&0&c^2
\\1&b^2&c^2&0
\end{pmatrix}
\\&=&\frac{1}{2^4}((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4))
\\&=&s(s-a)(s-b)(s-c)
\end{eqnarray}
とヘロンの公式が得られたり、
$$S^2{=}\frac{1}{2^2}
\det\begin{pmatrix}
\a\c\a&\a\c\b
\\\b\c\a&\b\c\b
\end{pmatrix}
{=}\frac{1}{2^2}(|\a|^2|\b|^2{-}(\a\cdot\b)^2)$$
とよく知られた公式も出てきます。
ちなみに$n=3$(三角錐)のときは
\begin{eqnarray}
36V^2&=&
\det\begin{pmatrix}
|\x_1|^2&\x_1\c\x_2&\x_1\c\x_3
\\\x_1\c\x_2&|\x_2|^2&\x_2\c\x_3
\\\x_1\c\x_3&\x_2\c\x_3&|\x_3|^2
\end{pmatrix}
\\&=&
|\x_1|^2|\x_2|^2|\x_3|^2
{-}|\x_1|^2(\x_2\c\x_3)^2
{-}|\x_2|^2(\x_3\c\x_1)^2
{-}|\x_3|^3(\x_1\c\x_2)^2
{+}2(\x_1\c\x_2)(\x_2\c\x_3)(\x_3\c\x_1)
\end{eqnarray}
なんていう公式が成り立ったりします。
証明
$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$が張る錐体と平行体
$$\l\{\sum^n_{k=1}t_k\x_k\mid t_k\geq0,\sum^n_{k=1}t_k=1\r\},\quad
\l\{\sum^n_{k=1}t_k\x_k\mid t_k\in[0,1]\r\}$$
の体積をそれぞれ$V,V'$とおくと
$$V=\frac{V'}{n!}$$
が成り立つ。
適当な線形変換によって$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$は正規直交基底であるものとし
$$P_n=\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^n_{k=1}t_k=1}}d\t,\quad C_n=\int_{[0,1]^n}d\t=1$$
を考える。このとき
\begin{align}
P_n
&=\int_0^1\left(\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^{n-1}_{k=1}t_k=1-t_n}}d\t'\right)dt_n\\
&=\int_{\substack{t_k\geq0\\\sum^{n-1}_{k=1}t_k=1}}d\t'\int_0^1(1-t_n)^{n-1}dt_n&(t_k\mapsto(1-t_n)t_k)\\
&=\frac{P_{n-1}}n
\end{align}
なので$P_1=1=C_n$に注意すると
$$P_n=P_1\prod^n_{k=2}\frac1k=\frac{C_n}{n!}$$
を得る。
あとは
$$V'=|\det\begin{pmatrix}\x_1&\x_2&\cdots&\x_n\end{pmatrix}|$$
を変形していく。
\begin{eqnarray}
V^2&=&\left(\frac{V'}{n!}\right)^2
\\&=&\frac{1}{(n!)^2}\det
(\begin{pmatrix}
\x_1&\x_2&\cdots&\x_n
\end{pmatrix}^t
\begin{pmatrix}
\x_1&\x_2&\cdots&\x_n
\end{pmatrix})
\\&=&\frac{1}{(n!)^2}\det(\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j)_{1{\leq}i,j{\leq}n}\quad\cdots(*)
\\&=&\frac{1}{2^n(n!)^2}\det(2\boldsymbol{x}_i\cdot\boldsymbol{x}_j)
\\&=&\frac{1}{2^n(n!)^2}\det(d_{0,i}^2+d_{0,j}^2-d_{i,j}^2)
\\&=&\frac{(-1)^n}{2^n(n!)^2}\det(d_{i,j}^2-d_{0,i}^2-d_{0,j}^2)
\\&=&\frac{(-1)^{3n+3}}{2^n(n!)^2}
\det\begin{pmatrix}
0&0&0&\cdots&0&1
\\0&-2d_{0,1}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&0
\\0&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&-2d_{0,2}^2&\cdots&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&0
\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots
\\0&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&\cdots&-2d_{0,n}^2&0
\\1&0&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix}
\\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2}
\det\begin{pmatrix}
0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&\cdots&d_{0.n}^2&1
\\d_{0,1}^2&-2d_{0,1}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&0
\\d_{0,2}^2&d_{1,2}^2-d_{0,1}^2-d_{0,2}^2&-2d_{0,2}^2&\cdots&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&0
\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots
\\d_{0,n}^2&d_{1,n}^2-d_{0,1}^2-d_{0,n}^2&d_{2,n}^2-d_{0,2}^2-d_{0,n}^2&\cdots&-2d_{0,n}^2&0
\\1&0&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix}
\\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2}
\det\begin{pmatrix}
0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&\cdots&d_{0.n}^2&1
\\d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&\cdots&d_{1,n}^2&1
\\d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&\cdots&d_{2,n}^2&1
\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots
\\d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&\cdots&0&1
\\1&1&1&\cdots&1&0
\end{pmatrix}
\\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{2^n(n!)^2}
\det\begin{pmatrix}
0&1&1&1&{\cdots}&1
\\1&0&d_{0,1}^2&d_{0,2}^2&{\cdots}&d_{0,n}^2
\\1&d_{0,1}^2&0&d_{1,2}^2&{\cdots}&d_{1,n}^2
\\1&d_{0,2}^2&d_{1,2}^2&0&{\cdots}&d_{2,n}^2
\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}
\\1&d_{0,n}^2&d_{1,n}^2&d_{2,n}^2&{\cdots}&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
といった具合である。
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