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大学数学基礎解説
文献あり

一般化ヘロンの公式:Cayley-Menger行列式

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はじめに

 この記事ではヘロンの公式をn次元に一般化した公式を紹介します。
 まずヘロンの公式とは以下の公式のことを言うのでした。

ヘロンの公式

 三辺の長さがそれぞれa,b,cなる三角形の面積Sについて
S=s(sa)(sb)(sc)(s=a+b+c2)
が成り立つ。

 そしてこれをn次元に一般化した公式:ケイリー・メンガー行列式は以下のようになります。

Cayley-Menger 行列式

 n個の線形独立なベクトルx1,x2,,xnによって張られる錐体の体積Vについて
V2=det(xixj)1i,jn(n!)2=(1)n+12n(n!)2det(0111110d0,12d0,22d0,n21d0,120d1,22d1,n21d0,22d1,220d2,n21d0,n2d1,n2d2,n20)
が成り立つ。ただしd0,k=|xk|,di,j=|xixj|とした。

 実際に例えばn=2(三角形)のときにこれを計算すると
S2=12222det(011110a2b21a20c21b2c20)=124((a2b2+b2c2+c2a2)(a4+b4+c4))=s(sa)(sb)(sc)
とヘロンの公式が得られたり、
S2=122det(αααββαββ)=122(|α|2|β|2(αβ)2)
とよく知られた公式も出てきます。
 ちなみにn=3(三角錐)のときは
36V2=det(|x1|2x1x2x1x3x1x2|x2|2x2x3x1x3x2x3|x3|2)=|x1|2|x2|2|x3|2|x1|2(x2x3)2|x2|2(x3x1)2|x3|3(x1x2)2+2(x1x2)(x2x3)(x3x1)
なんていう公式が成り立ったりします。

証明

 x1,x2,,xnが張る錐体と平行体
{k=1ntkxktk0,k=1ntk=1},{k=1ntkxktk[0,1]}
の体積をそれぞれV,Vとおくと
V=Vn!
が成り立つ。

 適当な線形変換によってx1,x2,,xnは正規直交基底であるものとし
Pn=tk0k=1ntk=1dt,Cn=[0,1]ndt=1
を考える。このとき
Pn=01(tk0k=1n1tk=1tndt)dtn=tk0k=1n1tk=1dt01(1tn)n1dtn(tk(1tn)tk)=Pn1n
なのでP1=1=Cnに注意すると
Pn=P1k=2n1k=Cnn!
を得る。

 あとは
V=|det(x1x2xn)|
を変形していく。
V2=(Vn!)2=1(n!)2det((x1x2xn)t(x1x2xn))=1(n!)2det(xixj)1i,jn()=12n(n!)2det(2xixj)=12n(n!)2det(d0,i2+d0,j2di,j2)=(1)n2n(n!)2det(di,j2d0,i2d0,j2)=(1)3n+32n(n!)2det(0000102d0,12d1,22d0,12d0,22d1,n2d0,12d0,n200d1,22d0,12d0,222d0,22d2,n2d0,22d0,n200d1,n2d0,12d0,n2d2,n2d0,22d0,n22d0,n2010000)=(1)n+12n(n!)2det(0d0,12d0,22d0.n21d0,122d0,12d1,22d0,12d0,22d1,n2d0,12d0,n20d0,22d1,22d0,12d0,222d0,22d2,n2d0,22d0,n20d0,n2d1,n2d0,12d0,n2d2,n2d0,22d0,n22d0,n2010000)=(1)n+12n(n!)2det(0d0,12d0,22d0.n21d0,120d1,22d1,n21d0,22d1,220d2,n21d0,n2d1,n2d2,n20111110)=(1)n+12n(n!)2det(0111110d0,12d0,22d0,n21d0,120d1,22d1,n21d0,22d1,220d2,n21d0,n2d1,n2d2,n20)
といった具合である。

参考文献

投稿日:2021213
更新日:2024511
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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