今度は, 有限の和で, お気に入りのものについて解説します.
下に示すように, どんな$n$でも和が$1$になるというものなので, すこし面白いと思います.
$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{\binom{2n}k\binom{2k}k}{\binom{n+k}k}=1$$
(証明)
$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\binom{2n}k2^{2k}\cos^{2k}x\sin^{2n}x=(1-4\cos^2x)^{2n}\sin^{2n}x=\sin^{2n}3x$$
この両辺を区間$\displaystyle\big[0,\frac{\pi}2\big]$で積分します.
\begin{eqnarray*} \int_0^{\fracπ2}\sin^{2n}x\cos^{2k}x\,dx&=&\frac12B\Big(n+\frac12,k+\frac12\Big)\\ &=&\frac{\big(\frac12\big)_n\big(\frac12\big)_k}{(n+k)!}\cdot\fracπ2\\ &=&\frac{(2n)!(2k)!}{n!k!(n+k)!2^{2(n+k)}}\cdot\fracπ2 \end{eqnarray*}
$$ \displaystyle\int_0^{\fracπ2}\sin^{2n}3x\,dx=\int_0^{\fracπ2}\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}\cdot\fracπ2$$
なので,
$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\binom{2n}k\frac{(2n)!(2k)!}{n!k!(n+k)!2^{2n}}=\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}$$
$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{\binom{2n}k\binom{2k}k}{\binom{n+k}k}=1$$
を得ます.