お気に入りの有限和

お気に入りの有限和

今度は, 有限の和で, お気に入りのものについて解説します.
下に示すように, どんな$n$でも和が$1$になるというものなので, すこし面白いと思います.

(証明)
$${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})2^{2k}{\cos }^{2k}x{\sin }^{2n}x=(1-4{\cos }^{2}x{)}^{2n}{\sin }^{2n}x={\sin }^{2n}3x}$$
この両辺を区間${\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}$で積分します.

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}x{\cos }^{2k}xdx& =& \frac{1}{2}B(n+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2})\\ & =& \frac{(\frac{1}{2}{)}_n(\frac{1}{2}{)}_k}{(n+k)!}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =& \frac{(2n)!(2k)!}{n!k!(n+k)!2^{2(n+k)}}\cdot \frac{\pi }{2}\end{array}$$

$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}3xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}xdx=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{2^{2n}}\cdot \frac{\pi }{2}}$$

なので,
$${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})\frac{(2n)!(2k)!}{n!k!(n+k)!2^{2n}}=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{2^{2n}}}$$
$${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})}=1}$$
を得ます.