文献あり

バレンタインなので、愛の形を測ってみる

121

バレンタインですね。今年は、コロナウィルスの影響でチョコレートをもらえないと思いますが皆さんはどうでしょうか？特に意味はないですがもう一度言います。コロナウィルスの影響でチョコレートをもらうのは厳しいと思っています。
さてそんなことより、チョコレートでハートマークを作る時、こんなことを思ったことはありませんか？
「ハートマーク作るのに最低どれくらいチョコレートいるんだろ？」と
そこで今回は、積分を使ってハートマークの方程式の面積を測ってみたいと思います。
愛の形がいろいろなように、ハートマークの表し方にも色々あるのですが、今回は、 wolframのサイトの中から簡単に積分できるものを引っ張って計算していきます。
計算は高校生レベルで解けるので、挑戦してみてください。

1. カージオイド

まずは、高校受験等でもよく出題されるカージオイド( $r (θ) = 1 - \sin θ$ )です。

カージオイドハートマークより少し丸みを帯びていますが、計算は簡単です。
極座標なので、
$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} r^{2} d θ$ で面積を求められます。

計算

&&&

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} r^{2} d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - \sin θ)^{2} d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - 2 \sin θ + \sin^{2} θ) d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - 2 \sin θ + \frac{1 - \cos 2 θ}{2}) d θ

\sin

や

\cos

は

[0, 2 π]

の範囲で積分すると0になるので消すと、

= \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) d θ = \int_{0}^{2 π} (\frac{3}{4}) d θ = \frac{3}{4} * 2 π = \frac{3 π}{2}

&&&

となり、答えは

\frac{3 π}{2}

となり大体、

4.71

くらいになります。
計算は簡単ですが、完璧なハート型ではないので、次は媒介変数表示を使ってハートマークをみていきます。

2. 媒介変数表示を使ったハートマーク

次に、 wolframのサイトに載っているの媒介変数表示でハートマークを表していきますが、元の方程式だとでかいので
$y (0)$ と $y (π)$ との距離がカージオイドと同じ $2$ になるよう縮尺して、以下のようにします。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} y (t) = \frac{16}{11} \sin^{3} t \\ x (t) = \frac{1}{11} (13 \cos t - 5 \cos 2 t - 2 \cos 3 t - \cos 4 t) \\ t \in [0, 2 π) \end{cases} \end{array}$

グラフは以下になります。
ハート2
媒介変数表示なので、 $x (t)$ を微分して、 $d x$ を求め、
$\int_{0}^{2 π} y (t) x^{'} (t) d t$
を求めます。
また、積和の公式を使って、 $c o s$ と $s i n$ の積を和に変換して積分します。

計算

&&&

x^{'} (t) = (\frac{16}{11} \sin^{3} t)^{'} = \frac{48}{11} \sin^{2} t \cos t

となります。
よって求める面積Sは

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{11} (13 \cos t - 5 \cos 2 t - 2 \cos 3 t - \cos 4 t) (\frac{48}{11} \sin^{2} t \cos t) d t = \frac{48}{11^{2}} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} t \cos t (13 \cos t - 5 \cos 2 t - 2 \cos 3 t - \cos 4 t) d t

\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))

となるので、

S = \frac{48}{11^{2}} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin^{2} t (13 (\cos 2 t + 1) - 5 (\cos 3 t + \cos t) - 2 (\cos 4 t + \cos 2 t) - (\cos 5 t + \cos 3 t)) d t = \frac{24}{11^{2}} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} t (13 - 5 \cos t + 11 \cos 2 t - 6 \cos 3 t - 2 \cos 4 t - \cos 5 t) d t

半角の公式

\sin^{2} t = \frac{1 - \cos 2 t}{2}

を使って、

S = \frac{12}{11^{2}} \int_{0}^{2 π} (1 - \cos 2 t) (13 - 5 \cos t + 11 \cos 2 t - 6 \cos 3 t - 2 \cos 4 t - \cos 5 t) d t

また、

\sin

や

\cos

は

[0, 2 π]

の範囲で積分すると0になるので

1 \cdot 13

と

- \cos 2 t \cdot (11 \cos 2 t)

の定数部のみ考えると、

S = \frac{12}{11^{2}} \int_{0}^{2 π} (13 - 11 / 2) d t = \frac{6}{11^{2}} (26 - 11) 2 π = \frac{180}{121} π

&&&

となるので、

\frac{180}{121} π

となり大体、

4.67

くらいになります。

結論

3cmx3cmの正方形の上には大体 $4.67 c m^{2}$ くらいのハートマークがおさまる。
明治のミルクチョコレートの情報とH&Dによるチョコレートの密度の表を照らし合わせると、
チョコレートの密度はおよそ $1.25 g / c m^{3}$ となります。
よって、各辺が $3 c m$ の立方体に入るハート型のチョコレートを作るのには $17.5 g$ 程度のチョコレートが必要