受験数学のための簡単な一階述語論理テスト

趣旨

高校の数学ではあんまりしっかり扱わない一階述語論理だけど、受験数学では案外と肝になることがあるので、そこらへんのチェックになればいいかなーと。間違いがあったらすみません。

問題

以下の各号を満たす条件をそれぞれ求めよ。ただし文字はすべて実数とする。

1. $\frac{1}{x}=a$を満たす$x$が存在する

2. $ax=b$を満たす$x$が存在する

3. 任意の$x$について$ax=b$を満たす

4. $x>a$かつ$x<b$を満たす$x$が存在する

5. $x^2=a$を満たす$x$が存在する

6. 任意の$x$について$x^2>a$を満たす

7. $\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x+y=a\\ xy=b\end{array}\end{array}$を満たす$x,y$が存在する

解答

(1)$a\ne 0$

(2)$a\ne 0$または$a=b=0$

(3)$a=b=0$

(4)$a<b$

(5)$a\ge 0$

(6)$a<0$

(7)$a^2-4b\ge 0$