受験数学のための簡単な一階述語論理テスト

趣旨

高校の数学ではあんまりしっかり扱わない一階述語論理だけど、受験数学では案外と肝になることがあるので、そこらへんのチェックになればいいかなーと。間違いがあったらすみません。

問題

以下の各号を満たす条件をそれぞれ求めよ。ただし文字はすべて実数とする。

1. $ \frac{1}{x}=a $を満たす$ x $が存在する

2. $ ax=b $を満たす$ x $が存在する

3. 任意の$ x $について$ ax=b $を満たす

4. $ x \gt a $かつ$ x \lt b $を満たす$ x $が存在する

5. $ x^2=a $を満たす$ x $が存在する

6. 任意の$ x $について$ x^2 \gt a $を満たす

7. $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=a \\ xy=b \end{array} \right. \end{eqnarray} $を満たす$ x,y $が存在する

解答

(1)$ a \neq 0 $

(2)$ a \neq 0 $または$ a=b=0 $

(3)$ a=b=0 $

(4)$ a \lt b $

(5)$ a \geq 0 $

(6)$ a \lt 0 $

(7)$ a^2-4b \geq 0 $

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