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任意に選んだ2数が互いに素である確率

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任意に選んだ2数が互いに素である確率

有名な問題ですが, 自分で考えた証明が少し面白くてお気に入りなので, 紹介させていただきます.
申し訳ありませんが, この記事の非厳密なところには目をおつぶりください.

$$ \mbox{任意に選んだ2数が互いに素である確率は,} \ \frac6{\pi^2}\ \mbox{である.}$$

(証明)
まず, 一般に, 任意に選んだ2数の最大公約数が$k$である確率を$p_k$とおきます. $p_1$が求める確率です.

選んだ2数を$m,n$とすると,
$m,n$の最大公約数が$k$である」$\Leftrightarrow$$m,n$$k$の倍数でかつ $\displaystyle\frac mk,\frac nk$ の最大公約数が1である」
と言い換えられます.

$m,n$$k$の倍数である確率はもちろん$\displaystyle\frac1{k^2}$です.
また, $\displaystyle\frac mk,\frac nk$ の最大公約数が1である確率を考えると, $m,n$が任意の2数であったことから$\displaystyle\frac mk,\frac nk$も任意の数なので, この確率は$p_1$に等しいです.

以上より, $\displaystyle p_k=\frac{p_1}{k^2}$ とわかりました.

一方, 全ての確率を足すと$1$にならなければなりません. 即ち, $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty p_k=1$ が成り立ちます.

従って, $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{p_1}{k^2}=1$ なので,
$\displaystyle p_1=\frac{1}{\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}}=\frac{6}{\pi^2}$
とわかりました.

同様に考えて, ランダムな$n$数が互いに素である確率は$\displaystyle\frac{1}{\zeta(n)}$であると言えそうです.

投稿日:2020117

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投稿者

東大理数B4です

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