任意に選んだ2数が互いに素である確率

任意に選んだ2数が互いに素である確率

有名な問題ですが, 自分で考えた証明が少し面白くてお気に入りなので, 紹介させていただきます.
申し訳ありませんが, この記事の非厳密なところには目をおつぶりください.

(証明)
まず, 一般に, 任意に選んだ2数の最大公約数が$k$である確率を$p_k$とおきます. $p_1$が求める確率です.

選んだ2数を$m,n$とすると,
「$m,n$の最大公約数が$k$である」$\iff$「$m,n$が$k$の倍数でかつ ${\displaystyle \frac{m}{k},\frac{n}{k}}$ の最大公約数が1である」
と言い換えられます.

$m,n$が$k$の倍数である確率はもちろん${\displaystyle \frac{1}{k^2}}$です.
また, ${\displaystyle \frac{m}{k},\frac{n}{k}}$ の最大公約数が1である確率を考えると, $m,n$が任意の2数であったことから${\displaystyle \frac{m}{k},\frac{n}{k}}$も任意の数なので, この確率は$p_1$に等しいです.

以上より, ${\displaystyle p_k=\frac{p_1}{k^2}}$ とわかりました.

一方, 全ての確率を足すと$1$にならなければなりません. 即ち, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k=1}$ が成り立ちます.

従って, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_1}{k^2}=1}$ なので,
${\displaystyle p_1=\frac{1}{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}=\frac{6}{{\pi }^2}}$
とわかりました.

同様に考えて, ランダムな$n$数が互いに素である確率は${\displaystyle \frac{1}{\zeta (n)}}$であると言えそうです.