積分解説4 ∫[0,π/2]sin(xsin(xsin...)dx

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この記事では, 以下の積分を証明しようと思います.

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(証明)

の前に, この$"\cdots"$の意味について説明しておきますと, これは$a_0=1,\ a_{n+1}=\sin(xa_n)$で定められる数列$\{a_n\}$の極限値$\ds\limn a_n$のことです.

この極限の存在性については省略させていただきます.

以下, 簡単のために被積分関数を$f(x)$とおきます.
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よくあるように, $st$平面で$s=t$と$s=\sin(xt)$のグラフの交点とかを考えることにより,

$0\leq x\leq1$のときは$f(x)=0$, $1\leq x\leq\hp$のときには$f(x)$は$t$の方程式$t=\sin(xt)$の解

となります.
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つまり, $f(x)$は$f(x)=\sin(xf(x))$を満たすので, $y=f(x)$として$x=\dfrac{\arcsin y}{y}$ と書けます.

従って,

$$\beq \int_0^\hp f(x)\,dx&=&\Big[xf(x)\Big]_0^\hp-\int_0^\hp xf'(x)\,dx \eeq$$

ここで, $y=1$のとき$x=\hp$なので$f(\hp)=1$とわかりますから, 第1項は$\hp$に等しいです. 第2項では, $f(x)=y$と置換すれば,

$$\beq \int_0^\hp xf'(x)\,dx&=&\int_0^1x\,dy\\[5pt] &=&\int_0^1\frac{\arcsin y}{y}\,dy\\[5pt] &=&\int_0^\hp\frac{\t}{\tan \t}\,d\t\space < y=\sin\t>\\[5pt] &=&\Big[\t\log\sin\t\Big]_0^\hp-\int_0^\hp\log\sin\t\,d\t\\[5pt] &=&-\int_0^\hp\log\sin\t\,d\t \eeq$$

とできます. ここで, 以下のようにしてこの積分は$\ds\hp\log2$と求められるので, 結局

$$\int_0^\hp f(x)\,dx=\hp(1-\log2)$$

と求められました.
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(積分の求め方)

$$\beq I&=&\int_0^\hp\log\sin\t\,d\t\\[5pt] &=&\int_0^\hp\log\cos\t\,d\t\\[5pt] &=&\frac12\Big(\int_0^\hp\log\sin\t\,d\t+\int_0^\hp\log\cos\t\,d\t\Big)\\[5pt] &=&\frac12\int_0^\hp\log(\sin\t\cos\t)\,d\t\\[5pt] &=&\frac12\int_0^\hp\Big(\log\sin2\t-\log2\Big)\,d\t\\[5pt] &=&\frac14\int_0^π\log\sin\t\,d\t-\fracπ4\log2\\[5pt] &=&\frac12I-\fracπ4\log2\\[10pt] ∴I&=&-\hp\log2 \eeq$$
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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同様にして,

$$\int_0^{\fracπ2}x\sin\big(x\sin\big(x\sin(x\sin\ \cdots\ \big)\,dx=\frac{π^2}{4}-2\beta(2)$$
なども得ることができます.

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