積分解説4 ∫[0,π/2]sin(xsin(xsin...)dx

この記事では, 以下の積分を証明しようと思います.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x \sin (x \sin (x \sin \dots) d x = \frac{π}{2} (1 - \log 2)

(証明)

の前に, この $" \dots "$ の意味について説明しておきますと, これは $a_{0} = 1, a_{n + 1} = \sin (x a_{n})$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の極限値 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ のことです.

この極限の存在性については省略させていただきます.

以下, 簡単のために被積分関数を $f (x)$ とおきます.

よくあるように, $s t$ 平面で $s = t$ と $s = \sin (x t)$ のグラフの交点とかを考えることにより,

$0 \leq x \leq 1$ のときは $f (x) = 0$ , $1 \leq x \leq \frac{π}{2}$ のときには $f (x)$ は $t$ の方程式 $t = \sin (x t)$ の解

となります.

つまり, $f (x)$ は $f (x) = \sin (x f (x))$ を満たすので, $y = f (x)$ として $x = \frac{\arcsin y}{y}$ と書けます.

従って,

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x & = & [x f (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} x f^{'} (x) d x \end{array}$

ここで, $y = 1$ のとき $x = \frac{π}{2}$ なので $f (\frac{π}{2}) = 1$ とわかりますから, 第1項は $\frac{π}{2}$ に等しいです. 第2項では, $f (x) = y$ と置換すれば,

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x f^{'} (x) d x & = & \int_{0}^{1} x d y \\ = & \int_{0}^{1} \frac{\arcsin y}{y} d y \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{θ}{\tan θ} d θ < y = \sin θ > \\ = & [θ \log \sin θ]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \\ = & - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \end{array}$

とできます. ここで, 以下のようにしてこの積分は $\frac{π}{2} \log 2$ と求められるので, 結局

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{π}{2} (1 - \log 2)$

と求められました.

(積分の求め方)

$\begin{array}{rcl} I & = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos θ d θ \\ = & \frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos θ d θ) \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (\sin θ \cos θ) d θ \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\log \sin 2 θ - \log 2) d θ \\ = & \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \log \sin θ d θ - \frac{π}{4} \log 2 \\ = & \frac{1}{2} I - \frac{π}{4} \log 2 \\ ∴ I & = & - \frac{π}{2} \log 2 \end{array}$