C[0,1]のBorel集合族を具体的に書く

$f,g,h\in C[0,1]$とする．定義より$d(f,g)=d(g,f)$，$d(f,g)\geq0$，$d(f,f)=0$である．また，$d(f,g)=0$ならば，任意の$x\in[0,1]$に対して$|f(x)-g(x)|=0$ゆえ$f=g$である．さらに
$$ \begin{align} d(f,h)&=\sup_{x\in[0,1]}|\{f(x)-g(x)\}+\{g(x)-h(x)\}| \\ &\leq\sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)|\} \\ &\leq\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|+\sup_{x\in[0,1]}|g(x)-h(x)| \\ &=d(f,g)+d(g,h) \end{align}$$
が成り立つ．以上より，$d$は$C[0,1]$上の距離である．

任意の$g\in\pi_t^{-1}((a,b))$に対して$\{f\in C[0,1]:d(f,g)< r\}\subset\pi_t^{-1}((a,b))$となるような$r>0$が存在することを示せばよい．$r=\min\{b-g(t),g(t)-a\}$とおくと，$a< g(t)< b$より$r>0$である．このとき，$d(f,g)< r$を満たす$f\in C[0,1]$に対して，

• $f(t)\geq g(t)$ならば$a< g(t)\leq f(t)$，$f(t)-g(t)< r\leq b-g(t)$より$f(t)< b$，
• $f(t)< g(t)$ならば$f(t)< g(t)< b$，$g(t)-f(t)< r\leq g(t)-a$より$a< f(t)$

となるから$a< f(t)< b$すなわち$f\in\pi_t^{-1}((a,b))$である．従って，$\pi_t^{-1}((a,b))$は$C[0,1]$の開集合である．

任意の$y\in O$に対して，$\{x\in\mathbb{R}:|x-y|< r_y\}\subset O$となるような$r_y>0$が存在する．さらに，$y-r_y< p_y< y< q_y< y+r_y$を満たす$p_y,q_y\in\mathbb{Q}$が存在する．このとき$y\in(p_y,q_y)\subset O$であるから
$$O=\bigcup_{y\in O}(p_y,q_y)$$が成り立つ．$\mathbb{Q}$は可算であるから，右辺は可算和となっている．

$O$は$\mathbb{R}$の開区間の可算和で表せるから，$$O=\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n)$$となるような$(a_n,b_n)\subset\mathbb{R}$（$n=1,2,\cdots$）が存在する．このとき $$\pi_t^{-1}(O) =\pi_t^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n)\right) =\bigcup_{n=1}^\infty\pi_t^{-1}((a_n,b_n))$$ である．$n=1,2,\cdots$に対して$\pi_t^{-1}((a_n,b_n))$は$C[0,1]$の開集合であるから，$\pi_t^{-1}(O)$は$C[0,1]$の開集合である．

$\mathcal{A}=\{B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}):\pi_t^{-1}(B)\in\mathcal{B}(C[0,1])\} \subset\mathcal{B}(\mathbb{R})$ とする． $\mathbb{R}$の開集合$O$に対して$\pi_t^{-1}(O)$は$C[0,1]$の開集合であるから，$\mathcal{A}$は$\mathbb{R}$の開集合をすべて含む．さらに，$\mathcal{A}$は$\mathbb{R}$上の$\sigma$-加法族である．実際，

• $\pi_t^{-1}(\mathbb{R})=C[0,1]\in\mathcal{B}(C[0,1])$より$\mathbb{R}\in\mathcal{A}$，
• $A\in\mathcal{A}$のとき$\pi_t^{-1}(A^c)=\pi_t^{-1}(A)^c\in\mathcal{B}(C[0,1])$より$A^c\in\mathcal{A}$，
• $A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{A}$のとき$\pi_t^{-1}(\bigcup A_n)=\bigcup\pi_t^{-1}(A_n)\in\mathcal{B}(C[0,1])$より$\bigcup A_n\in\mathcal{A}$

が成り立つ． 以上より$\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\mathcal{A}$である．すなわち$\mathcal{A}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$となり，結論を得る．

$C[0,1]=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in\mathbb{R},k=0,1,\cdots,2^n\}\in\mathcal{F}_n$である．また，$j=1,2,\cdots$に対して$F_j=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in B_k^{(j)},k=0,1,\cdots,2^n\}\in\mathcal{F}_n$のとき $$\bigcup_{j=1}^\infty F_j =\left\{f\in C[0,1]:f\left(\frac{k}{2^n}\right) \in\bigcup_{j=1}^\infty B_k^{(j)},k=0,1,\cdots,2^n\right\} \in\mathcal{F}_n$$ である．さらに$F=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in B_k,k=0,1,\cdots,2^n\}\in\mathcal{F}_n$のとき
$$F^c=\bigcup_{k=0}^{2^n}\left\{f\in C[0,1]:f\left(\frac{k}{2^n}\right)\in B_k^c\right\} \in\mathcal{F}_n$$である．以上より，$\mathcal{F}_n$は$C[0,1]$上の$\sigma$-加法族である．

$g\in C[0,1]$が$d(f,g)< r$を満たすとき，ある$n\in\{1,2,\cdots\}$が存在して$d(f,g)< r-\frac{1}{n}$が成り立つ．よって，特に任意の$d\in\mathcal{D}$に対して$|g(d)-f(d)|< r-\frac{1}{n}$すなわち$f(d)-(r-\frac{1}{n})< g(d)< f(d)+(r-\frac{1}{n})$ が成り立つ．これは$g\in\pi_{d}^{-1}((f(d)-(r-\frac{1}{n}),f(d)+(r-\frac{1}{n})))$であることに他ならない．ゆえに $$\{g\in C[0,1]:d(f,g)< r\} \subset \bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{d\in\mathcal{D}} \pi_{d}^{-1} \left(\left(f(d)-\left(r-\frac{1}{n}\right)，f(d)+\left(r-\frac{1}{n}\right)\right)\right)$$ が得られる．一方，$g$が上式の右辺に属するとき， ある$N\in\{1,2,\cdots\}$が存在して，任意の$d\in\mathcal{D}$に対して$g\in\pi_{d}^{-1}((f(d)-(r-\frac{1}{N}),f(d)+(r-\frac{1}{N})))$すなわち$|g(d)-f(d)|< r-\frac{1}{N}$が成り立つ．ここで，任意の$x\in[0,1]$および$n\in\{1,2,\cdots\}$に対して，$x\in[\frac{k^{(n)}-1}{2^n},\frac{k^{(n)}}{2^n}]$を満たす$k^{(n)}\in\{1,2,\cdots,2^n\}$をとると，実数列$\{\frac{k^{(n)}}{2^n}\}_{n=1}^\infty$は$x$に収束する．よって，$|g-f|\in C[0,1]$より $$|g(x)-f(x)| =\lim_{n\to\infty}\left|g\left(\frac{k^{(n)}}{2^n}\right)-f\left(\frac{k^{(n)}}{2^n}\right)\right| \leq r-\frac{1}{N}< r$$ となる．すなわち$d(f,g)< r$であるから
$$\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{d\in\mathcal{D}} \pi_{d}^{-1} \left(\left(f(d)-\left(r-\frac{1}{n}\right)，f(d)+\left(r-\frac{1}{n}\right)\right)\right) \subset\{g\in C[0,1]:d(f,g)< r\}$$ が得られる．以上より
$$\{g\in C[0,1]:d(f,g)< r\}= \bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{d\in\mathcal{D}} \pi_{d}^{-1} \left(\left(f(d)-\left(r-\frac{1}{n}\right)，f(d)+\left(r-\frac{1}{n}\right)\right)\right) \in\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$$ が従う．

$O$を$C[0,1]$の開集合とすると， 任意の$f\in O$に対して$\{g\in C[0,1]:d(f,g)< r_f\}\subset O$ となるような$r_f>0$が存在する．$0< q_f< r_f$を満たす$q_f\in\mathbb{Q}$をとると$\{g\in C[0,1]:d(f,g)< q_f\}\subset\{g\in C[0,1]:d(f,g)< r_f\}$ である．$[0,1]$上の有理係数多項式全体$\mathcal{P}$は$C[0,1]$の稠密部分集合であるから，$d(f,P_f)<\frac{q_f}{2}$を満たす$P_f\in\mathcal{P}$が存在する．このとき，$g\in C[0,1]$に対して $$d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\Rightarrow d(f,g)\leq d(f,P_f)+d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}+\frac{q_f}{2}=q_f$$が成り立つから$f\in\{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\}\subset\{g\in C[0,1]:d(f,g)< q_f\}$となる．よって
$$O=\bigcup_{f\in O}\left\{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\right\}$$が得られる．ここで，$\mathbb{Q}$および$\mathcal{P}$はともに可算集合であるから，上式の右辺は可算和となっている． さらに$\{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\}\in\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$である． 従って$O\in\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$が成り立つ．

$n=0,1,\cdots$に対して
$$\mathcal{F}_n=\left\{\bigcap_{k=0}^{2^n}\pi_{\frac{k}{2^n}}^{-1}(B_k): B_0,B_1,\cdots,B_{2^n}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$$であることに注意すると，$\pi_{\frac{k}{2^n}}^{-1}(B_k)\in\mathcal{B}(C[0,1])$ゆえ，$n=0,1,\cdots$に対して$\mathcal{F}_n\subset\mathcal{B}(C[0,1])$が成り立つ． よって$\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)\subset\mathcal{B}(C[0,1])$である．一方，$C[0,1]$の任意の開集合は$\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$に属するから$\mathcal{B}(C[0,1])\subset\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$も成り立つ．以上より$\mathcal{B}(C[0,1])=\sigma(\mathcal{F}_n:n\geq1)$である．

Weierstrassの多項式近似定理より， 任意の$\varepsilon>0$に対して$\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$を満たすような実係数多項式$P(x)=\sum_{j=0}^dp_jx^j$が存在する．このとき，各$j=0,1,\cdots,d$に対して$|p_j-q_j|<\frac{\varepsilon}{2(d+1)}$を満たす$q_j\in\mathbb{Q}$が存在する．そこで$Q(x)=\sum_{j=0}^dq_jx^j$と定めると，任意の$x\in[0,1]$に対して
$$|P(x)-Q(x)|=\left|\sum_{j=0}^d(p_j-q_j)x^j\right| \leq\sum_{j=0}^d|p_j-q_j||x^j|\leq\sum_{j=0}^d|p_j-q_j| <(d+1)\frac{\varepsilon}{2(d+1)}=\frac{\varepsilon}{2}$$が成り立つ．ゆえに$$\begin{align} \sup_{x\in[0,1]}|f(x)-Q(x)| &\leq\sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-P(x)|+|P(x)-Q(x)|\} \\ &\leq\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|+\sup_{x\in[0,1]}|P(x)-Q(x)| \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon\end{align}$$を得る．

任意の$f\in C[0,1]$および$n=1,2,\cdots$に対して$d(f,Q_n)=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-Q_n(x)|<\frac{1}{n}$を満たすような$Q_n\in\mathcal{P}$が存在する．よって$\lim_{n\to\infty}Q_n=f$であるから，$\mathcal{P}$は$C[0,1]$の稠密部分集合であり，特に$\mathcal{P}$は可算である．