C[0,1]のBorel集合族を具体的に書く

$f,g,h\in C[0,1]$とする．定義より$d(f,g)=d(g,f)$，$d(f,g)\ge 0$，$d(f,f)=0$である．また，$d(f,g)=0$ならば，任意の$x\in [0,1]$に対して$|f(x)-g(x)|=0$ゆえ$f=g$である．さらに
$$\begin{array}{rl}d(f,h)& =\underset{x\in [0,1]}{sup}|\{f(x)-g(x)\}+\{g(x)-h(x)\}|\\ & \le \underset{x\in [0,1]}{sup}\{|f(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)|\}\\ & \le \underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-g(x)|+\underset{x\in [0,1]}{sup}|g(x)-h(x)|\\ & =d(f,g)+d(g,h)\end{array}$$
が成り立つ．以上より，$d$は$C[0,1]$上の距離である．

任意の$g\in {\pi }_t^{-1}((a,b))$に対して$\{f\in C[0,1]:d(f,g)<r\}\subset {\pi }_t^{-1}((a,b))$となるような$r>0$が存在することを示せばよい．$r=min\{b-g(t),g(t)-a\}$とおくと，$a<g(t)<b$より$r>0$である．このとき，$d(f,g)<r$を満たす$f\in C[0,1]$に対して，

• $f(t)\ge g(t)$ならば$a<g(t)\le f(t)$，$f(t)-g(t)<r\le b-g(t)$より$f(t)<b$，
• $f(t)<g(t)$ならば$f(t)<g(t)<b$，$g(t)-f(t)<r\le g(t)-a$より$a<f(t)$

となるから$a<f(t)<b$すなわち$f\in {\pi }_t^{-1}((a,b))$である．従って，${\pi }_t^{-1}((a,b))$は$C[0,1]$の開集合である．

任意の$y\in O$に対して，$\{x\in \mathbb{R}:|x-y|<r_y\}\subset O$となるような$r_y>0$が存在する．さらに，$y-r_y<p_y<y<q_y<y+r_y$を満たす$p_y,q_y\in \mathbb{Q}$が存在する．このとき$y\in (p_y,q_y)\subset O$であるから
$$O=\bigcup _{y\in O}(p_y,q_y)$$が成り立つ．$\mathbb{Q}$は可算であるから，右辺は可算和となっている．

$O$は$\mathbb{R}$の開区間の可算和で表せるから，$$O=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n,b_n)$$となるような$(a_n,b_n)\subset \mathbb{R}$（$n=1,2,\cdots$）が存在する．このとき $${\pi }_t^{-1}(O)={\pi }_t^{-1}(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n,b_n))=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_t^{-1}((a_n,b_n))$$ である．$n=1,2,\cdots$に対して${\pi }_t^{-1}((a_n,b_n))$は$C[0,1]$の開集合であるから，${\pi }_t^{-1}(O)$は$C[0,1]$の開集合である．

$\mathcal{A}=\{B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}):{\pi }_t^{-1}(B)\in \mathcal{B}(C[0,1])\}\subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ とする． $\mathbb{R}$の開集合$O$に対して${\pi }_t^{-1}(O)$は$C[0,1]$の開集合であるから，$\mathcal{A}$は$\mathbb{R}$の開集合をすべて含む．さらに，$\mathcal{A}$は$\mathbb{R}$上の$\sigma$-加法族である．実際，

• ${\pi }_t^{-1}(\mathbb{R})=C[0,1]\in \mathcal{B}(C[0,1])$より$\mathbb{R}\in \mathcal{A}$，
• $A\in \mathcal{A}$のとき${\pi }_t^{-1}(A^c)={\pi }_t^{-1}(A{)}^c\in \mathcal{B}(C[0,1])$より$A^c\in \mathcal{A}$，
• $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{A}$のとき${\pi }_t^{-1}(\bigcup A_n)=\bigcup {\pi }_t^{-1}(A_n)\in \mathcal{B}(C[0,1])$より$\bigcup A_n\in \mathcal{A}$

が成り立つ． 以上より$\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset \mathcal{A}$である．すなわち$\mathcal{A}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$となり，結論を得る．

$C[0,1]=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in \mathbb{R},k=0,1,\cdots ,2^n\}\in {\mathcal{F}}_n$である．また，$j=1,2,\cdots$に対して$F_j=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in B_k^{(j)},k=0,1,\cdots ,2^n\}\in {\mathcal{F}}_n$のとき $$\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_j=\{f\in C[0,1]:f\left(\frac{k}{2^n}\right)\in \bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k^{(j)},k=0,1,\cdots ,2^n\}\in {\mathcal{F}}_n$$ である．さらに$F=\{f\in C[0,1]:f(\frac{k}{2^n})\in B_k,k=0,1,\cdots ,2^n\}\in {\mathcal{F}}_n$のとき
$$F^c=\bigcup _{k=0}^{2^n}\{f\in C[0,1]:f\left(\frac{k}{2^n}\right)\in B_k^c\}\in {\mathcal{F}}_n$$である．以上より，${\mathcal{F}}_n$は$C[0,1]$上の$\sigma$-加法族である．

$g\in C[0,1]$が$d(f,g)<r$を満たすとき，ある$n\in \{1,2,\cdots \}$が存在して$d(f,g)<r-\frac{1}{n}$が成り立つ．よって，特に任意の$d\in \mathcal{D}$に対して$|g(d)-f(d)|<r-\frac{1}{n}$すなわち$f(d)-(r-\frac{1}{n})<g(d)<f(d)+(r-\frac{1}{n})$ が成り立つ．これは$g\in {\pi }_d^{-1}((f(d)-(r-\frac{1}{n}),f(d)+(r-\frac{1}{n})))$であることに他ならない．ゆえに $$\{g\in C[0,1]:d(f,g)<r\}\subset \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{d\in \mathcal{D}}{\pi }_d^{-1}\left((f(d)-(r-\frac{1}{n})，f(d)+(r-\frac{1}{n}))\right)$$ が得られる．一方，$g$が上式の右辺に属するとき， ある$N\in \{1,2,\cdots \}$が存在して，任意の$d\in \mathcal{D}$に対して$g\in {\pi }_d^{-1}((f(d)-(r-\frac{1}{N}),f(d)+(r-\frac{1}{N})))$すなわち$|g(d)-f(d)|<r-\frac{1}{N}$が成り立つ．ここで，任意の$x\in [0,1]$および$n\in \{1,2,\cdots \}$に対して，$x\in [\frac{k^{(n)}-1}{2^n},\frac{k^{(n)}}{2^n}]$を満たす$k^{(n)}\in \{1,2,\cdots ,2^n\}$をとると，実数列$\{\frac{k^{(n)}}{2^n}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$は$x$に収束する．よって，$|g-f|\in C[0,1]$より $$|g(x)-f(x)|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|g\left(\frac{k^{(n)}}{2^n}\right)-f\left(\frac{k^{(n)}}{2^n}\right)|\le r-\frac{1}{N}<r$$ となる．すなわち$d(f,g)<r$であるから
$$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{d\in \mathcal{D}}{\pi }_d^{-1}\left((f(d)-(r-\frac{1}{n})，f(d)+(r-\frac{1}{n}))\right)\subset \{g\in C[0,1]:d(f,g)<r\}$$ が得られる．以上より
$$\{g\in C[0,1]:d(f,g)<r\}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{d\in \mathcal{D}}{\pi }_d^{-1}\left((f(d)-(r-\frac{1}{n})，f(d)+(r-\frac{1}{n}))\right)\in \sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$$ が従う．

$O$を$C[0,1]$の開集合とすると， 任意の$f\in O$に対して$\{g\in C[0,1]:d(f,g)<r_f\}\subset O$ となるような$r_f>0$が存在する．$0<q_f<r_f$を満たす$q_f\in \mathbb{Q}$をとると$\{g\in C[0,1]:d(f,g)<q_f\}\subset \{g\in C[0,1]:d(f,g)<r_f\}$ である．$[0,1]$上の有理係数多項式全体$\mathcal{P}$は$C[0,1]$の稠密部分集合であるから，$d(f,P_f)<\frac{q_f}{2}$を満たす$P_f\in \mathcal{P}$が存在する．このとき，$g\in C[0,1]$に対して $$d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\Rightarrow d(f,g)\le d(f,P_f)+d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}+\frac{q_f}{2}=q_f$$が成り立つから$f\in \{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\}\subset \{g\in C[0,1]:d(f,g)<q_f\}$となる．よって
$$O=\bigcup _{f\in O}\{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\}$$が得られる．ここで，$\mathbb{Q}$および$\mathcal{P}$はともに可算集合であるから，上式の右辺は可算和となっている． さらに$\{g\in C[0,1]:d(P_f,g)<\frac{q_f}{2}\}\in \sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$である． 従って$O\in \sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$が成り立つ．

$n=0,1,\cdots$に対して
$${\mathcal{F}}_n=\{\bigcap _{k=0}^{2^n}{\pi }_{\frac{k}{2^n}}^{-1}(B_k):B_0,B_1,\cdots ,B_{2^n}\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$$であることに注意すると，${\pi }_{\frac{k}{2^n}}^{-1}(B_k)\in \mathcal{B}(C[0,1])$ゆえ，$n=0,1,\cdots$に対して${\mathcal{F}}_n\subset \mathcal{B}(C[0,1])$が成り立つ． よって$\sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)\subset \mathcal{B}(C[0,1])$である．一方，$C[0,1]$の任意の開集合は$\sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$に属するから$\mathcal{B}(C[0,1])\subset \sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$も成り立つ．以上より$\mathcal{B}(C[0,1])=\sigma ({\mathcal{F}}_n:n\ge 1)$である．

Weierstrassの多項式近似定理より， 任意の$\epsilon >0$に対して$\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-P(x)|<\frac{\epsilon }{2}$を満たすような実係数多項式$P(x)=\sum _{j=0}^d{p}_j{x}^j$が存在する．このとき，各$j=0,1,\cdots ,d$に対して$|p_j-q_j|<\frac{\epsilon }{2(d+1)}$を満たす$q_j\in \mathbb{Q}$が存在する．そこで$Q(x)=\sum _{j=0}^d{q}_j{x}^j$と定めると，任意の$x\in [0,1]$に対して
$$|P(x)-Q(x)|=|\sum _{j=0}^d(p_j-q_j)x^j|\le \sum _{j=0}^d|p_j-q_j||x^j|\le \sum _{j=0}^d|p_j-q_j|<(d+1)\frac{\epsilon }{2(d+1)}=\frac{\epsilon }{2}$$が成り立つ．ゆえに$$\begin{array}{rl}\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-Q(x)|& \le \underset{x\in [0,1]}{sup}\{|f(x)-P(x)|+|P(x)-Q(x)|\}\\ & \le \underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-P(x)|+\underset{x\in [0,1]}{sup}|P(x)-Q(x)|\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \end{array}$$を得る．

任意の$f\in C[0,1]$および$n=1,2,\cdots$に対して$d(f,Q_n)=\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-Q_n(x)|<\frac{1}{n}$を満たすような$Q_n\in \mathcal{P}$が存在する．よって$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{Q}_n=f$であるから，$\mathcal{P}$は$C[0,1]$の稠密部分集合であり，特に$\mathcal{P}$は可算である．