peppersまとめ（モーメントで消えてしまった初期の部分の補完）

三角形$ABC$の外心を$O$、内心を$I$、傍心を$J$とする。直線$BI,BJ$と直線$AC$の交点をそれぞれ$D,F$、直線$CI,CJ$と直線$AB$の交点を$E,G$とする。三角形$BDF$の外接円と三角形$CEG$の外接円の交点を$X,Y$とするとき、$3$点$O,X,Y$は同一直線上にあることを示せ。

三角形$ABC$と平面上の点$P$について、直線$BP$と三角形$APC$の外接円の交点を$L$、直線$CP$と三角形$APB$の外接円の交点を$K$とし、線分$BK,CL$の中点をそれぞれ$M,N$とする。直線$BP,CP$と直線$MN$の交点をそれぞれ$X,Y$とするとき、$4$点$A,P,X,Y$は同一円周上にあることを示せ。

三角形$ABC$の内心を$I$、外心を$O$、垂心を$H$とし、線分$BC$の中点を$M$とする。また、三角形$ABC$の$C$に対する傍接円と線分$AB$の接点を$K$、三角形$ABC$の$B$に対する傍接円と線分$AC$の接点を$L$とし、直線$BL$と$CK$の交点を$N$とする。直線$HI$と$ON$の交点を$P$、直線$AI$と$MN$の交点を$Q$とするとき、$AP=HQ$を示せ。

内接円を持つ四角形$ABCD$の内心を$I$とする。三角形$BCD,CDA,DAB,ABC$の外心をそれぞれ$O_A,O_B,O_C,O_D$とするとき、四角形$O_A{O}_B{O}_C{O}_D$は内接円を持つことを示せ。

三角形$ABC$の$A$に対する傍心を$J$、傍接円を$\omega$とする。また、直線$BC$と平行な$\omega$の接線であって直線$BC$でないものと直線$AB$の交点をそれぞれ$D$とし、$A$に関して$J$と対称な点を$J^{\prime }$とするとき、$4$点$J,J^{\prime },C,D$は同一円周上にあることを示せ。

外接円を持つ四角形$ABCD$について、辺$AB,BC,CD,DA$の中点をそれぞれ$K,L,M,N$とする。このとき、$K$から辺$CD$に下ろした垂線、$L$から辺$DA$に下ろした垂線、$M$から辺$AB$に下ろした垂線、$N$から辺$BC$に下ろした垂線は一点で交わることを示せ。

三角形$ABC$の垂心を$H$、外心を$O$とする。また、三角形$ABC$の内接円、$A$に対する傍接円と辺$BC$の接点をそれぞれ$D,E$とする。四角形$AHDP$が平行四辺形になるように点$P$を取るとき、$3$点$P,O,E$は同一直線上にあることを示せ。

内接円を持つ四角形$ABCD$の内心を$I$とする。三角形$IAB,IBC,ICD,IDA$の外心をそれぞれ$O_1,O_2,O_3,O_4$とするとき、三角形$O_{1}AB,O_{2}BC,O_{3}CD,O_{4}DA$の外接円全てに接する円が存在することを示せ。

三角形$ABC$の内心を$I$、辺$BC$と内接円の接点を$D$、$A$を含まない弧$BC$の中点を$M$とする。直径を$AI$とする円と三角形$ABC$の外接円の好転を$P$とするとき、$3$点$P,D,M$は同一直線上にあることを示せ。