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高校数学解説
文献あり

自作問題の解答: 外心と垂心を焦点とする内接楕円

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問題: 019

鋭角三角形ABCについて、その外心をO、垂心をHとする。2点O,Hを焦点に持ち、ABCに内接する楕円の面積はABCの面積の何倍か。角A,B,Cを用いて表せ。またどのような三角形のときに最大となるか示し、その最大値を求めよ。
なお、HOが一致する場合には内接円をこの楕円とみなす。

Twitterに投稿した自作問題です。

解説
各頂点から対辺に下した垂線の足をHA,HB,HC、各辺BC,CA,ABの中点をそれぞれMA,MB,MCとする。辺の長さについてBC=a, CA=b, AB=c、外接円の半径をRとする。楕円と各辺BC,CA,ABとの接点をそれぞれTA,TB,TCとし、長軸半径をd、短軸半径をe、中心と焦点の距離をfとする。

楕円の性質として、OTA+HTA=2dであり、\angle\mr{M_AT_A}=\angle\mr{H_AT_AH}である。このことから、辺BCについて点Oと対称な点Oを取ると、3点H,TA,Oは1直線上に並び、HO=2dとなる。
Fig.019_1 Fig.019_1

BMA=CMA=a2, BHA=ccosB, CHA=bcosC, a=bcosC+ccosBより、\mr{H_AM_A}=\dfrac{1}{2}|b\cos C-c\cos B|である。またOMA=RcosA。さらにBHHA=Cより、HHA=BHAtanC=ccosBcosCsinC=2RcosBcosC
以上のことから、\mr{HO'}^2=\mr{H_AM_A}^2+(\mr{\mr{HH_A+OM_A}})^2=4d^2であって、
4d2=14(bcosCccosB)2+(2RcosBcosC+RcosA)2=14(b2cos2C+c2cos2B2bccosBcosC)+4R2cos2Bcos2C+R2cos2A+4R2cosAcosBcosC=14(a24bccosBcosC)+4R2cos2Bcos2C+R2cos2A+4R2cosAcosBcosC=R2sin2A4R2sinBsinCcosBcosC+4R2cos2Bcos2C+R2cos2A+4R2cosAcosBcosC=R2+4R2cosBcosC(cosBcosCsinBsinC)+4R2cosAcosBcosC=R2+4R2cosBcosCcos(B+C)+4R2cosAcosBcosC
となるが、cos(B+C)=cos(πA)=cosAであるから、4d2=R2を得る。
続いて、\mr{HO}^2=\mr{H_AM_A}^2+(\mr{HH_A-OM_A})^2=4f^2であって、
4f2=14(bcosCccosB)2+(2RcosBcosCRcosA)2==R28R2cosAcosBcosC
を得る。楕円としてd2=e2+f2だから、e2=2R2cosAcosBcosCである。したがって、d=R2, e=R2cosAcosBcosCとなり、楕円の面積はπdeで求められる。
πde=πR22cosAcosBcosC

HOが一致するのは明らかに正三角形のときである。cosA=cosB=cosC=12を代入すると
πde=πR22122=π(R2)2
となるが、正三角形において内接円半径は外接円半径の12倍だからこれは内接円の面積に等しい。よってHOが一致するときもよい。

ABCの面積Sについて、
S=12bcsinA=2R2sinAsinBsinC
と書けるから、求めるものは
πdeS=πcosAcosBcosC22sinAsinBsinC

ABCは鋭角三角形であり、sinA,cosAなどはすべて正だから、πdeSが最大となるのは、
cosAcosBcosCsin2Asin2Bsin2C=cosA1cos2AcosB1cos2BcosC1cos2C
が最大となるときである。余弦定理を用いて辺の長さで表し、さらにa=y+z, b=z+x, c=x+yと変換すると、
cosA1cos2A=x2(x+y+z)2y2z24xyz(x+y+z)
となる。これはx,y,zをすべて定数倍しても値が変わらないから、x+y+z=1としてよい。するとこれはcosA1cos2A=14(xyzyzx) となる。B,Cについても同様に、cosB1cos2B=(yzxzxy), cosC1cos2C=14(zxyxyz)

鋭角三角形の成立条件からb+ca=2x>0, b2+c2a2=2x(x+y+z)2yz=2x2yz>0を得る。さらに対称性から、x>yz>0, y>zx>0, z>xy>0が従う。

yzx=α2, zxy=β2, xyz=γ2とおくと、
cosA1cos2AcosB1cos2BcosC1cos2C=143(1α2α2)(1β2β2)(1γ2γ2)
となる。ここで0<α2,β2,γ2<1であり、α2β2=z2,β2γ2=x2,γ2α2=y2である。α,β,γは正の値を考えれば十分だから、x+y+z=1よりαβ+βγ+γα=1が従う。α+β+γ=p,αβγ=qとすると次を得る。
143(1α2α2)(1β2β2)(1γ2γ2)=143α2β2γ2(1α4)(1β4)(1γ4)=143α2β2γ2(1(α4+β4+γ4)+(α4β4+β4γ4+γ4α4)α4β4γ4)=4(pq)2(p2q2)243q2

関数f(t)=t3pt2+tqをおくとき、3次方程式f(t)=00<α,β,γ<1なる3実数解を持つためのp,qの条件は、(i): f(t)=0が実数解u,v (ただし0<uv<1) を持ち、(ii): f(u)f(v)0であり、(iii): f(0)<0かつf(1)>0であること。

(i)について、f(t)=3t22pt+1より、D4=p230かつ、軸について0<p3<1かつ、f(0)=1>0かつ、f(1)=42p>0であればよいので、3p<2

(ii)について、f(t)=0における解と係数の関係によってu+v=23p, uv=13であることを踏まえて、
f(u)f(v)=(u3pu2+uq)(v3pv2+vq)==427p3q127p223pq+q2+4270
ここでpを固定してqについての2次不等式とみると、次のように解ける。なお、(i)よりx230である。
227p3+13p227(p23)3q227p3+13p+227(p23)3

(iii)について、f(0)=q<0かつf(1)=2pq>0であるから、0<q<2p

(i),(ii),(iii)の下での
4(pq)2(p2q2)243q2=(pq)2(4(p+q)2)43q2()
の最大値を求めればよい。
ddp(227p3+13p±227(p23)3)=29p(p±p23)+13
であり、常にp(p±p23)>32だからこれは負となる。したがって、
0<227p3+13p±227(p23)3133
が従う。このことから(i)の範囲ではp<q<pであることがわかるので、(*)は、pを固定した時qが小さいほど大きな値をとり、qを固定した時pが小さいほど大きな値をとることがわかる。(i)よりp=3とすると、(ii)よりq=133となるから、このときに(*)は最大値827をとる。

さてこのときf(t)=t33t2+t133=(t13)3となるから、α=β=γ=13で、x=y=z=13を得て、a=b=cが従うから、ABCは正三角形である。

以上のことから、題意の楕円の面積はABCの面積のπcosAcosBcosC22sinAsinBsinC倍であり、この値はABCが正三角形のときに最大値π33を取る。
ネタバレ含むコメント
三角形の内接あるいは傍接楕円の2つの焦点は互いに等角共役となります(文献参照のこと)。このことと、外心と垂心が互いに等角共役であることからこの問題を作成しました。面積比についてはすんなりと求まりましたが、最大値はかなり苦労しました。きれいに解く方法をご存じの方がいらっしゃいましたらコメント頂けると幸いです。

参考文献

投稿日:2021218
OptHub AI Competition

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Hurdia
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趣味勢。 考えたことをためて置いたり、自分で作成した問題をまとめておく。

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