はじめまして. 棗（なつめ）といいます.
いきなりですが, 群の代数的な性質が空間へのよい作用の有無によって特徴付けられることがあります.
本記事では初等的な議論で証明できる例として, 群がその構造と両立する全順序を許容するかという性質を数直線$\mathbb{R}$へのよい作用の有無によって特徴付けます.
群の演算と群の上の全順序が両立していることの定義にはいくつか可能性がありますが, ここでは次を採用します.
群$G$上の全順序$<$が左順序であるとは, 任意の$g_1,g_2,h\in G$に対し, $(g_1< g_2 \Rightarrow hg_1 < hg_2) $が成立することをいう.
また, 群$G$が左順序付け可能であるとは, 群$G$上に左順序が存在することをいう.
いくつか簡単な考察をしておきましょう.
群$G$が左順序をもつと仮定する. $e$を$G$の単位元とし, 単位元ではない任意の元$g\in G\setminus\{e\}$に対し, $g$が捩れ元ではないことを示す. $e< g$または$g< e$が成り立つ. $e< g$であったとする. 任意の正の整数$k$に対し, $g^k$を$e< g$に左から掛け$g^k< g^{k+1}$となる. 順序の推移律から帰納的に, 任意の正の整数$n$について$e< g^n$がわかる. 特に任意の正の整数$n$について$g^n\neq e$であるから$g$は捩れ元ではない. $g< e$の場合も同様である.
ここで$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$を$\mathbb{R}$の自然な順序を保つ同相写像のなす群としましょう. この群は左順序付け可能な群の重要な例になっています.
$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$は左順序付け可能である.
$\mathbb{Q}$と$\mathbb{N}=\{ 0,1,2, \dots \}$の間の全単射を任意に固定し, $i\in \mathbb{N}$に対応する$\mathbb{Q}$の元を$q_i$とする. 写像$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$を$f\mapsto (i\mapsto f(q_i))$によって定める. $\mathbb{Q}$の$\mathbb{R}$におけるの稠密性からこの写像は単射である. この写像によって$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$の辞書式順序から誘導される$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$の全順序は左順序である.
任意の$f_1,f_2,g\in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$に対し, $(f_1< f_2\Rightarrow g\circ f_1< g\circ f_2)$を確認しよう. $f_1< f_2$ならば, ある$i\in \mathbb{N}$が存在し, $f_1(q_i)< f_2(q_i)$および任意の$i>j\in \mathbb{N}$に対し$f_1(q_j)=f_2(q_j)$が成立する. $g\in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$は$\mathbb{R}$の順序を保つので, $g(f_1(q_i))< g(f_2(q_i))$および任意の$i>j\in \mathbb{N}$に対し$g(f_1(q_j))=g(f_2(q_j))$が成り立つ. これは$g\circ f_1< g\circ f_2$を意味する.
$G$を可算群とする. このとき, $G$が左順序付け可能であることと, $G$から$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$への単射準同型が存在することは同値である.
即ち, $G$が左順序付け可能であることと, $G$が$\mathbb{R}$に自然な順序を保つ忠実な連続作用をもつことが同値である.
定理の証明に入る前にいくつか準備をしておきます.
全順序集合$T$が自己稠密であるとは, 任意の$s< t$なる$s,t\in T$に対し, $s< u< t$なる$u\in T$が存在することをいう.
$\mathbb{Q}$は自己稠密な可算全順序集合ですが, 逆に自己稠密な可算全順序集合が最大元も最小元ももたなければ$\mathbb{Q}$に順序集合として同型になります.
可算全順序集合$T$が自己稠密かつ最大元も最小元ももたないとき, 順序を保つ全単射$\phi\colon T\to \mathbb{Q}$が存在する.
$T$と$\mathbb{N}=\{ 0,1,2, \dots \}$の間の全単射を任意に固定し, $i\in \mathbb{N}$に対応する$T$の元を$t_i$とする. また, $\mathbb{Q}$と間の$\mathbb{N}$の全単射も任意に固定し, $i\in \mathbb{N}$に対応する$\mathbb{Q}$の元を$q_i$とする. 次のアルゴリズムによって, 各$n\in \mathbb{N}$に対し, $T$の$(n+1)$元部分集合$T_n$と$\mathbb{Q}$の$(n+1)$元部分集合$Q_n$および, 順序を保つ全単射$\phi_n\colon T_n\to Q_n$を構成する.
上記の2.と3.を繰り返し任意の$n\in \mathbb{N}$に対し, 順序を保つ全単射$\phi_n\colon T_n\to Q_n$が得られるが, 任意の$n< m\in \mathbb{N}$に対し, $T_n\subset T_m$, $Q_n\subset Q_m$であり, $\phi_m$は$\phi_n$の拡張になっている. そのため, 順序を保つ全単射$\phi\colon\bigcup_n T_n\to\bigcup_n Q_n$が定まる. ここで, 2.より, $\bigcup_n T_n=T$であり, 3.より$\bigcup_n Q_n=\mathbb{Q}$であるから, この$\phi$が補題の主張を与える.
任意の順序を保つ全単射$f\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$は順序を保つ同相写像$\tilde{f} \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$に一意的に拡張される.
$\mathbb{Q}$は$\mathbb{R}$において稠密なので, 拡張するならばその方法は一意である.
$f$は順序を保つので任意の$r\in \mathbb{R}$に対し, $\sup \{f(q)\mid q\in \mathbb{Q}, q\leq r\}\leq \inf\{f(q)\mid q\in \mathbb{Q}, r\leq q \}$である. この両辺が異なるとすると$2$つの値の間に有理数が存在し$f$の全射性に反する. よって, $\sup \{f(q)\mid q\in \mathbb{Q}, q\leq r\}= \inf\{f(q)\mid q\in \mathbb{Q}, r\leq q \}$であるからこの値を$\tilde{f}(r)$と定めれば, 順序を保つ写像$\tilde{f} \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$が定まる. これは$f$の拡張になっており, 単射であり, 全射であることも$\tilde{f}(\sup \{f^{-1}(q)\mid q\in \mathbb{Q}, q\leq r\}) =\sup \{q\mid q\in \mathbb{Q}, q\leq r\}=r$からわかる.
すなわち, $\tilde{f}$は順序集合としての同型を与えるが, $\mathbb{R}$の標準的な位相は順序位相に一致するので同相写像である.
では, 主定理の証明を与えましょう.
単射準同型$G\to \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$が存在したとすると, 命題 1 で構成された$\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$の左順序を$G$に引き戻せば$G$の左順序が得られる.
可算群$G$が左順序をもったとする. まず, この順序が自己稠密であると仮定して示す.
（$G$の左順序が自己稠密である場合）
自明群以外の左順序は最大元も最小元ももたないので, 補題 3 より順序を保つ全単射$\phi\colon G\to \mathbb{Q}$をとれる.
任意の$g\in G$に対し, $f_g=\phi\circ l_g\circ \phi^{-1} \colon \mathbb{Q}\to G\to G\to\mathbb{Q}$は順序を保つ全単射である. 補題 4 より$f_g$は順序を保つ同相写像$\tilde{f}_g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$に拡張する.
任意の$g,h\in G$に対し, $f_g\circ f_h=\phi\circ l_g\circ l_h\circ \phi^{-1} =\phi\circ l_{gh}\circ \phi^{-1} =f_{gh}$および拡張の一意性から$\tilde{f}_g\circ\tilde{f}_h=\tilde{f}_{gh}$である.
また, 構成から$G$の単位元$e$に対する$\tilde{f}_e$は$\mathbb{R}$の恒等写像であり, $g\in G$が単位元でないときは$\tilde{f}_g$は恒等写像にはならない.
即ち, $g\in G$に対し$\tilde{f}_g\in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$を対応させる写像は単射な準同型写像である.
（$G$の左順序が自己稠密とは限らない場合）
可算群$G\times \mathbb{Q}$の辞書式順序は自己稠密な左順序になる.
よって, 直前の議論より単射準同型$G\times \mathbb{Q}\to \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$が存在する.
これに$G$と$G\times \mathbb{Q}$の部分群$G\times \{0\}$を同一視して包含写像を合成すれば, 単射準同型$G\to \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$が得られる.
今回は可算群のみを扱いました. より濃度の高い群に対しては, 主定理は必ずしも成り立ちません. 例えば簡単な反例として, $\mathrm{Homeo}^+(\mathbb{R})$よりも濃度が大きい左順序付け可能な群が$\mathbb{Z}^X$の形で存在します.
ただし, 一般の群の左順序付け可能性はその有限生成部分群のみによって決まることが知られています.
群$G$が左順序付け可能であることと, $G$の任意の有限生成部分群が左順序付け可能であることは同値である.
今回はこちらの主張は紹介のみに留めますが, 証明は$\{0,1\}^G$のコンパクト性に帰着されます.
今回紹介した証明は参考文献[1]に書かれているものです. 参考文献[1]は arXiv にも上がっているので, 興味を持たれた方はそちらもご覧になってください. この記事では扱わなかった非自明な例や発展的な話題についても書かれています.