はじめに
はじめまして. 棗(なつめ)といいます.
いきなりですが, 群の代数的な性質が空間へのよい作用の有無によって特徴付けられることがあります.
本記事では初等的な議論で証明できる例として, 群がその構造と両立する全順序を許容するかという性質を数直線へのよい作用の有無によって特徴付けます.
定義
群の演算と群の上の全順序が両立していることの定義にはいくつか可能性がありますが, ここでは次を採用します.
群の左順序
群上の全順序が左順序であるとは, 任意のに対し, が成立することをいう.
また, 群が左順序付け可能であるとは, 群上に左順序が存在することをいう.
いくつか簡単な考察をしておきましょう.
- 群上の全順序が左順序であることと, 任意のについて左からを掛ける写像が順序を保つことは同値である.
- 左順序付け可能な群の部分群は左順序付け可能である.
- の自然な全順序は左順序である.
- 群にそれぞれ左順序が与えられているとき, 直積群の辞書式順序も左順序である.
- 群が捩れ元をもつとき左順序を持ちえない. 特に自明群以外の有限群は左順序付け可能ではない.
証明はこちら
群が左順序をもつと仮定する. をの単位元とし, 単位元ではない任意の元に対し, が捩れ元ではないことを示す. またはが成り立つ. であったとする. 任意の正の整数に対し, をに左から掛けとなる. 順序の推移律から帰納的に, 任意の正の整数についてがわかる. 特に任意の正の整数についてであるからは捩れ元ではない. の場合も同様である.
重要な例
ここでをの自然な順序を保つ同相写像のなす群としましょう. この群は左順序付け可能な群の重要な例になっています.
との間の全単射を任意に固定し, に対応するの元をとする. 写像をによって定める. のにおけるの稠密性からこの写像は単射である. この写像によっての辞書式順序から誘導されるの全順序は左順序である.
任意のに対し, を確認しよう. ならば, あるが存在し, および任意のに対しが成立する. はの順序を保つので, および任意のに対しが成り立つ. これはを意味する.
主定理
を可算群とする. このとき, が左順序付け可能であることと, からへの単射準同型が存在することは同値である.
即ち, が左順序付け可能であることと, がに自然な順序を保つ忠実な連続作用をもつことが同値である.
定理の証明に入る前にいくつか準備をしておきます.
全順序集合が自己稠密であるとは, 任意のなるに対し, なるが存在することをいう.
は自己稠密な可算全順序集合ですが, 逆に自己稠密な可算全順序集合が最大元も最小元ももたなければに順序集合として同型になります.
可算全順序集合が自己稠密かつ最大元も最小元ももたないとき, 順序を保つ全単射が存在する.
証明はこちら
との間の全単射を任意に固定し, に対応するの元をとする. また, と間のの全単射も任意に固定し, に対応するの元をとする. 次のアルゴリズムによって, 各に対し, の元部分集合との元部分集合および, 順序を保つ全単射を構成する.
- , と定め, とする.
- まで定まっているとき.
をなる最小のとして, とする. の自己稠密性もしくはが最大元・最小元をもたないことから写像であって単射かつ順序を保ち, 上に一致するものが存在する. これを任意に選び, この写像の像をとし, 像への全単射をと定める. - まで定まっているとき.
をなる最小のとして, とする. の自己稠密性もしくはが最大元・最小元をもたないことから写像であって単射かつ順序を保ち, 上に一致するものが存在する. これを任意に固定しこの写像の像をとし, この像への全単射の逆写像をと定める.
上記の2.と3.を繰り返し任意のに対し, 順序を保つ全単射が得られるが, 任意のに対し, , であり, はの拡張になっている. そのため, 順序を保つ全単射が定まる. ここで, 2.より, であり, 3.よりであるから, このが補題の主張を与える.
任意の順序を保つ全単射は順序を保つ同相写像に一意的に拡張される.
証明はこちら
はにおいて稠密なので, 拡張するならばその方法は一意である.
は順序を保つので任意のに対し, である. この両辺が異なるとするとつの値の間に有理数が存在しの全射性に反する. よって, であるからこの値をと定めれば, 順序を保つ写像が定まる. これはの拡張になっており, 単射であり, 全射であることもからわかる.
すなわち, は順序集合としての同型を与えるが, の標準的な位相は順序位相に一致するので同相写像である.
では, 主定理の証明を与えましょう.
定理 2 の証明
単射準同型が存在したとすると, 命題 1 で構成されたの左順序をに引き戻せばの左順序が得られる.
可算群が左順序をもったとする. まず, この順序が自己稠密であると仮定して示す.
(の左順序が自己稠密である場合)
自明群以外の左順序は最大元も最小元ももたないので, 補題 3 より順序を保つ全単射をとれる.
任意のに対し, は順序を保つ全単射である. 補題 4 よりは順序を保つ同相写像に拡張する.
任意のに対し, および拡張の一意性からである.
また, 構成からの単位元に対するはの恒等写像であり, が単位元でないときはは恒等写像にはならない.
即ち, に対しを対応させる写像は単射な準同型写像である.
(の左順序が自己稠密とは限らない場合)
可算群の辞書式順序は自己稠密な左順序になる.
よって, 直前の議論より単射準同型が存在する.
これにとの部分群を同一視して包含写像を合成すれば, 単射準同型が得られる.
おわりに
今回は可算群のみを扱いました. より濃度の高い群に対しては, 主定理は必ずしも成り立ちません. 例えば簡単な反例として, よりも濃度が大きい左順序付け可能な群がの形で存在します.
ただし, 一般の群の左順序付け可能性はその有限生成部分群のみによって決まることが知られています.
群が左順序付け可能であることと, の任意の有限生成部分群が左順序付け可能であることは同値である.
今回はこちらの主張は紹介のみに留めますが, 証明はのコンパクト性に帰着されます.
今回紹介した証明は参考文献[1]に書かれているものです. 参考文献[1]は
arXiv
にも上がっているので, 興味を持たれた方はそちらもご覧になってください. この記事では扱わなかった非自明な例や発展的な話題についても書かれています.