大学数学基礎解説

東大数学2020を実況する

高校数学

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はじめに

この記事では, 需要が多そうだった, 「東大数学2020の脳内実況」をしていきたいと思います.

頑張って書くので, ぜひ最後まで読んでいただきたいです.

ちなみに, 以下では計算ミスとかは直していますが, 実際の私の出来は, 5の後半でミスと6の最後で時間が足りなくなってしまったので, 点数で言うとまあ90点くらいかなと思います.

解いた順番は, 前から順番に解きました. (悪い癖です...) 時間は, 25/25/25/30/25/20(←6は途中まで)という感じです.

では, 始めようと思います. 以下, 口調が崩れます. 読み苦しいかもしれませんがご容赦ください.

第1問

a, b, c, p

を実数とする。不等式

\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & > & 0 \\ b x^{2} + c x + a & > & 0 \\ c x^{2} + a x + b & > & 0 \end{array}

をすべて満たす実数

x

の集合と,

x > p

を満たす実数

x

の集合が一致しているとする。

(1)

a, b, c

はすべて

0

以上であることを示せ。

(2)

a, b, c

のうち少なくとも

1

個は

0

であることを示せ。

(3)

p = 0

であることを示せ。

(なんか文字も条件式も多くて1問目から大変そうですね...🤔 あれ, でもこれ $x > p$ になるってことほとんどないんじゃないですかね？？実際にグラフを書いてみると, 放物線が上に凸だったら $x$ がいくらでも大きくなれるわけがないし, 下に凸だったとしても今度はすごく小さい $x$ が満たしちゃいますからね... あ, やっぱり全部放物線っていうのは無理で, $(2)$ にあるようにどれかは直線なんですね〜☺️)

では $(1)$ はいま考えたように, どれかが負ならおかしいとして背理法ちっくにやってみればいいんですね〜. まあこれは2次の係数が負なら $x \to \infty$ としたら左辺はいくらでも小さくなるので, 十分大きい $x$ でどれかの不等式を満たさなくなってしまう, みたいに記述すれば良いですね✨ こういう抽象的な問題で, 「十分大きい $x$ 」とかを考えるのは大事だと思います.

$(2)$ は少し面倒そうですね... あ, でも鉄則の「『少なくとも』は否定する！」を使うと, $a, b, c$ が全て正だと仮定して矛盾を導けば良いんですね〜. これならさっき考えたように, グラフを描いてみれば, 十分小さい $x$ でも全ての不等号を満たしてしまって「 $x > p$ 」が実現できないって言えば良いですね. やっぱりお絵描きは大事です🥰

$(3)$ はなんか, 難しいですね...🤔 とりあえず $a = 0$ としてみます. そうすると条件は, $b x + c > 0, b x^{2} + c x > 0, c x^{2} + b > 0$ ですね. $b, c$ も正だったので,(※嘘です. どちらかが0のときもOKなことの言及が必要です😢) これは結局 $0 < x$ になるので $p = 0$ ですね. 思ったより簡単でした.😚

第2問

平面上の点

P, Q, R

が同一直線上にないとき，それらを

3

頂点とする三角形の面積を

Δ P Q R

で表す。また，

P, Q, R

が同一直線上にあるときは，

Δ P Q R = 0

とする。

A, B, C

を平面上の

3

点とし，

Δ A B C = 1

とする。この平面上の点

X

が

2 ≦ Δ A B X + Δ B C X + Δ C A X ≦ 3

を満たしながら動くとき，

X

の動きうる範囲の面積を求めよ。

これは...なんか抽象的で難しそうです🤔 まあでもこれは相似とかのあれなのでどんな形でもいいのかなって思うとわりとお絵描きが楽ですね〜

とりあえず不等式の中辺を $S (X)$ とおいて, 半直線 $A B, A C$ で囲まれた部分を「 $∠ A$ 内」と呼ぶことにしましょう.(3つの直線で平面を区切って場合わけが必要そうなので.)

まず適当にお絵描きしてみると $X$ が $Δ A B C$ 内や周上にあるときにはちょうど $S (X) = 1$ となることがわかりますね. これは面白いです🤭 次に $∠ A$ 内にあるときには, $Δ A B X$ と $Δ C A X$ がちょうど $Δ A B C$ を含んでいる構図になっていて, $S (X) = 1 + 2 Δ B C X$ になりますね. $∠ A$ の反対側(説明しずらいのですが)にある場合もうまくできないか考えてみると今度は $S (X) = 2 Δ B C X - 1$ と書けそうです. これも綺麗で面白いですね🥰

まあ以上のようにして $S (X)$ が事実上1変数になったので, もうあとは適当に記述するだけですね〜. 領域を図示してみてきちんと繋がっているかにも注意しました. やっぱりこういう抽象的な問題はまず条件を簡単に理解するためにお絵描きするのが大事ですね🥳 3変数を1変数に直すのも大事だと思います.

第3問

- 1 ≦ t ≦ 1

を満たす実数

t

に対して,

\begin{array}{rcl} x (t) & = & (1 + t) \sqrt{1 + t} \\ y (t) & = & 3 (1 + t) \sqrt{1 - t} \end{array}

とする。座標平面上の点

P (x (t), y (t))

を考える。

(1)

- 1 < t ≦ 1

における

t

の関数

\frac{y (t)}{x (t)}

は単調に減少することを示せ。

(2)

原点と

P

の距離を

f (t)

とする。

- 1 ≦ t ≦ 1

における

t

の関数

f (t)

の増減表を調べ，最大値を求めよ。

(3)

t

が

- 1 ≦ t ≦ 1

を動くときの

P

の軌跡を

C

とし，

C

と

x

軸で囲まれた領域を

D

とする。原点を中心として

D

を時計回りに

90^{\circ}

回転させるとき，

D

が通過する領域の面積を求めよ。

なんとこれは, 計算するだけではないですか...！しかもご丁寧に誘導までついています🥰 これは確実にとるつもりでいきます💪

$(1)$ は簡単ですね〜. これ, 分子の $\sqrt{1 - t}$ は単調減少で, 分母の $\sqrt{1 + t}$ は単調増加なんですから, $\frac{y}{x}$ は単調減少に決まっています🤭 微分する必要がなくて安心しました〜.

$(2)$ も微分するだけですね. これは根号をとらずに $x (t)^{2} + y (t)^{2}$ の増減を調べると楽かなあと思いました. まあ何も難しいことはないです.

$(3)$ $O P$ の傾きが単調減少なことから, 適当に図示ができそうです. まあこれはどうせ回転するんですし, 問題の流れから言って正確に図示する必要は全くなさそうですね☺️

で, 実際に描いてみるとよくあるあれになりますね. 小学校の時にもやったように, 扇型と $D$ の面積になるっていうだけでした🧐 でもこれは回転の際に自己交差しないっていうのが必要なんでしたっけ... まあ $(1) (2)$ よりって書いておけば大丈夫ですよね.

あとは面倒な積分を計算すれば良いです. 定積分は毎行見直します！あ, ちなむと私は反時計回りに回してしまったのですが, まあ全く本質的でないので東大さんなら減点なしですよね🤔🤔🤔

第4問

n, k

を，

1 ≦ k ≦ n

を満たす整数とする。

n

個の整数

2^{m} (m = 0, 1, 2, \dots, n - 1)

から異なる

k

個を選んでそれらの積をとる。

k

個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる

_{n} C_{k}

個の整数の和を

a_{n, k}

とおく。例えば，

a_{4, 3} = 2^{0} \cdot 2^{1} \cdot 2^{2} + 2^{0} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3} + 2^{0} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} + 2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} = 120

である。

(1)

2

以上の整数

n

に対し，

a_{n, 2}

を求めよ。

(2)

1

以上の整数

n

に対し，

x

についての整式

f_{n} (x) = 1 + a_{n, 1} x + a_{n, 2} x^{2} + \dots + a_{n, n} x^{n}

を考える。

\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (x)}

と

\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (2 x)}

を

x

についての整式として表せ。

(3)

\frac{a_{n + 1, k + 1}}{a_{n, k}}

を

n, k

で表せ。

わあ, これはなんとも難しそうです...🤔 とりあえず実験はしてみるものの, 全然法則がわかりません... $(1)$ だけは機械的に計算できそうなのでやってみますか...

$(1)$ これは $2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{n - 1}$ から2個選ぶので, その2個を $2^{i}, 2^{j} (0 ≦ i < j ≦ n - 1)$ とおけば良いですね. 2文字についての和はまあ片方固定すれば良いので, これは結局 $\sum_{i = 0}^{n - 2} (2^{i} \sum_{j = i + 1}^{n - 1} 2^{j})$ を計算すれば良いんですね. ( $2^{i}$ を $j$ に関する $\sum$ の外に出しました.) これは単純計算です😚

$(2)$ ちょっと意味がわからないので実験してみます...
$f_{1} (x) = 1 + x$
$f_{2} (x) = 1 + 3 x + 2 x^{2} = (1 + x) (1 + 2 x)$
$f_{3} (x) = 1 + 7 x + 14 x^{2} + 8 x^{3} = (1 + x) (1 + 2 x) (1 + 4 x)$

なるほど, これって解と係数の関係なんですね...！面白いです！(文字には表せない感動でした🥺)まあ後から考えてみたら, $n$ 文字から $k$ 文字を選んで掛け合わせるなんて, そのまんまですけどね...🤔 でもやっぱり実験は大事です！

これさえわかれば, $\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (x)} = 1 + 2^{n} x$ , $\frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (2 x)} = 1 + x$ が簡単にわかりますね〜

$(3)$ これ, $(2)$ って, $f_{n + 1} (x) = (1 + 2^{n} x) f_{n} (x) = (1 + x) f_{n} (2 x)$ っていう2つの恒等式が成り立つって言ってるわけで, これはすごいことですよ...！🤭 恒等式といえばもちろん係数比較したくなりますよね？(まあこれは少し慣れが必要かもですが)

と, いうことで2つの恒等式の $x^{n}$ の係数を比べてみれば, なんか $a$ の3つにわたった関係式(漸化式？)が2つでてくるので, 1つ消去すればうまいこと題意の式が得られるという感じでした🥳

あ, ちなみにこの問題, 予備校の先生はﾜｱｰｹｲｼｷﾃｷﾍﾞｷｷｭｳｽｳｶﾞｼｭﾂﾀﾞｲｻﾚﾀｰｻｽｶﾞﾄｳﾀﾞｲｻﾏﾀﾞｰとか言ってるかもしれませんが, そんな名前はどうでもよくて, 知らなくても解けるようになってるので, 惑わされないでくださいね😉

第5問

座標空間において，

x y

平面上の原点を中心とする半径

1

の円を考える。この円を底面とし，点

(0, 0, 2)

を頂点とする円錐(内部を含む)を

S

とする。また，点

A (1, 0, 2)

を考える。

(1)

点

P

が

S

の底面を動くとき，線分

A P

が通過する部分を

T

とする。平面

z = 1

による

S

の切り口および，平面

z = 1

による

T

の切り口を同一平面上に図示せよ。

(2)

点

P

が

S

を動くとき，線分

A P

が通過する部分の体積を求めよ。

やっぱり求積問題ですね！！でもこれは2018や2019のと比べても割と楽な気がします... 頭の中でもけっこう簡単に想像ができます, $(1)$ はななめの円錐ですよね...🤔

$(1)$ 線分のお話ですので, やっぱりこれはベクトルを使うと議論がしやすいですよね！ $\vec{O P} = r (\binom{\cos θ}{\sin θ}) (0 ≦ r ≦ 1, 0 ≦ θ < 2 π)$ とおいて, 切り口の点を $Q$ とでもすれば $\vec{O Q} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A P} =$ $(\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{r}{2} (\begin{matrix} \cos θ \\ \sin θ \\ 0 \end{matrix})$ と書けるので, $(\frac{1}{2}, 0, 1)$ 中心の半径 $\frac{1}{2}$ の円だとわかりますね😊

$(2)$ これは, なかなか面倒そうです... $(1)$ から, どうせ切り口は, なんか円が移動した時の通過範囲(？)みたいになっていることはわかるのですが, きちんと議論しにくいです...

しかたないので $z = t$ での断面は, 点 $P$ が円錐 $S$ のうち $z = s$ の部分を動いた時の $Q$ を同様に考えてから, $0 ≦ s ≦ t$ と動かすことにしましょう. これは文字が多くて大変です😖 (実際これで計算ミスしました...) まあでもできる図形はわりとわかっているので, 冷静にいけば良かったです...😢

結論として, 求積問題は断面を冷静に求めれば解ける, っていうことですね！

第6問

以下の問いに答えよ。

(1)

A, α

を実数とする。

θ

の方程式

A \sin 2 θ - \sin (θ + α) = 0

を考える。

A > 1

のとき，この方程式は

0 ≦ θ < 2 π

の範囲に少なくとも

4

個の解を持つことを示せ。

(2)

座標平面上の楕円

C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

を考える。また，

0 < r < 1

を満たす実数

r

に対して，不等式

2 x^{2} + y^{2} < r^{2}

が表す領域を

D

とする。

D

内のすべての点

P

が以下の条件を満たすような実数

r (0 < r < 1)

が存在することを示せ。また，そのような

r

の最大値を求めよ。

条件:

C

上の点

Q

で，

Q

における

C

の接線と直線

P Q

が直交するようなものが少なくとも

4

個ある。

ついに第6問です...！なんか変な問題ですね...🤔 $(1)$ が $(2)$ の明らかな誘導なんですね. では $(1)$ は簡単めなんですかね...

$(1)$ これはお絵描きしてみるとわかりますね！ $A \sin 2 θ$ のグラフは, 高さ $A > 1$ の大きな山と谷を4つ持っていて, そこで絶対に $\sin (θ + α)$ , whose 山は高さ1, を追い抜かす=交わっているはずなので, 結構簡単にわかりました.

これは具体的には, $θ = \frac{π}{4}, \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π, \frac{7}{4} π$ で左辺の正負が4回逆転しているので, 0になる点も4つある, みたいに中間値の定理から言ってあげればいいですね😊

$(2)$ 抽象的でよくわからないですね... とりあえず, 式変形したら $(1)$ の形が出てくることを願って計算していきます😱 こればっかりはどうしようもないですからね...

$C$ 上の点 $Q (\sqrt{2} \cos θ, \sin θ)$ での接線の法線ベクトルは, いろいろな計算により $(\binom{\cos θ}{\sqrt{2} \sin θ})$ と書けるので, $\vec{P Q}$ がこれの実数倍であれば良いです. $P (s \frac{\cos φ}{\sqrt{2}}, s \sin φ)$ $(0 ≦ s < r)$ みたいに書けるので, 結局
$(\binom{\sqrt{2} \cos θ - s \frac{\cos φ}{\sqrt{2}}}{\sin θ - s \sin φ}) = t (\binom{\cos θ}{\sqrt{2} \sin θ})$
と書ければ良いですね. この2式から $t$ を消去すると, なんとちょうど加法定理が使えて, $\frac{1}{2 s} \sin 2 θ - \sin (θ - φ) = 0$ とすることができました！！🥳

これの $θ$ の解が4つであれば良いので, $(1)$ より, $\frac{1}{2 s} > 1$ つまり $s < \frac{1}{2}$ ならば少なくとも4解を持ちます. $0 ≦ s < r$ を思い出して, $r ≦ \frac{1}{2}$ くらいの小さな $r$ ならば条件を満たすことがわかりました！

なので $r$ の最大値は $\frac{1}{2}$ と予想できますね. (私はここで時間切れとなりましたが) あとは $r > \frac{1}{2}$ のときはある $r, s, φ$ が存在して $θ$ の解が3つしかないことがあり得ることを言えばよさそうです. まあこれは少し面倒ですね...🙄