問題：平均値の定理を用いずに。

問題

平均値の定理を用いずに次のことを証明せよ。

閉区間 $[a,b]$ で連続であり，開区間 $(a,b)$ で微分可能な関数 $f$ について，その導関数 $f^{\prime }$ の符号が開区間 $(a,b)$ において常に正であれば，$f$ は $[a,b]$ で狭義単調増加である。