コルンブルムの合同ゼータ関数

概要

今回は、コルンブルムによる合同ゼータ関数の一つ
$${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\prod _{h\in {\mathbb{F}}_p[T];prime}(1-N(h{)}^{-s}{)}^{-1}$$
を紹介します。$p$は素数、$h$は素多項式で、$N(h)=p^{\mathrm{deg}(h)}$です。
私自身、ゼータ関数のことは超初歩的なことしか知らない初心者ですが、たまたまこれを知って、代数のよい復習にもなる面白い話題だと思ったので、記事にすることにしました。そのため、私の代数の復習の目的が大きいので、ゼータ関数と直接は関係ない代数の説明が少々長くなりますが、ご了承ください。

素元分解の一意性からの導出

くどいようですが、${\mathbb{F}}_p[T]$が一意分解環であることから簡単に説明します。多項式環$({\mathbb{F}}_p[T],\mathrm{deg})$は、通常の多項式の割り算により、ユークリッド環になります。ユークリッド環は単項イデアル整域、単項イデアル整域は一意分解環であるので、${\mathbb{F}}_p[T]$は一意分解環です。したがって、リーマンゼータ関数のオイラー積と同様の計算が成り立ちます。
$$\begin{gathered} {\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s) \\ =\prod _{h\in {\mathbb{F}}_p[T];prime}(1-N(h{)}^{-s}{)}^{-1} \\ =\prod _{h\in {\mathbb{F}}_p[T];prime}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}N(h{)}^{-sn} \\ =\sum _{f\in {\mathbb{F}}_p[T];monic}N(f{)}^{-s} \end{gathered}$$
モニックな${\mathbb{F}}_p$上$n$次多項式は、係数の取り方に注目して$p^n$個あるので、$\mathfrak{R}(s)>1$で
$${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^n\cdot p^{-sn}=\frac{1}{1-p^{1-s}}$$
と計算されます。

$n$次の素多項式の個数からの導出

次に、別の方法で${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)$を求めてみたいと思います。素多項式に関する積を、次数ごとに行う方法です。
$$\begin{gathered} {\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\prod _{h\in {\mathbb{F}}_p;prime \\ \mathrm{deg}(h)=n}(1-N(h{)}^{-s}{)}^{-1}) \end{gathered}$$
すると、
$$\kappa (n)=|\{h\in {\mathbb{F}}_p|prime,\mathrm{deg}(h)=n\}|$$
とおけば、
$${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p^{-ns}{)}^{-\kappa (n)}$$
となります。以下、$\kappa (n)$を求めます。

$\kappa (n)$を求める

そのために、まず$f(T)=T^{p^m}-T\in {\mathbb{F}}_p[T]$を${\mathbb{F}}_p[T]$で因数分解(素式分解)することを考えます。因数分解は、根を考えることが重要です。${\mathbb{F}}_p$上最小分解体を$L$とし、$L$における根の集合を$K$としましょう。すると明らかに、
$$f(T)=\prod _{\alpha \in K}(T-\alpha )$$
となります。$f(T)$は重根を持ちません。なぜなら、$f^{\prime }(T)=p^m{T}^{p^m-1}-1=-1$となり、$\alpha$が重根なら$f^{\prime }(\alpha )=0$に矛盾するからです。ということは、$K$の元の${\mathbb{F}}_p$上最小多項式全体の集合を$H$とすれば、$H$の元すべての積が、$f(T)$の素式分解を与えることになります。

そこで、$H$を決定する前に、その準備として、$L=K$であることを示しておきます。$K$が体であることを示せば、$L$は$f(T)$の根をすべて含む最小の体ですから、$K$に一致することになります。$\alpha ,\beta \in K$を取ると、$k=1,\cdots ,p^m-1$で$p|(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^m}{k})$であることに注意して、
$$\begin{gathered} (\alpha +\beta {)}^{p^m}={\alpha }^{p^m}+{\beta }^{p^m}+\sum _{k=1}^{p^m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^m}{k}){\alpha }^k{\beta }^{p^m-k}={\alpha }^{p^m}+{\beta }^{p^m}=\alpha +\beta \\ (\alpha \beta {)}^{p^m}={\alpha }^{p^m}{\beta }^{p^m}=\alpha \beta \end{gathered}$$
となるので、$K$は和と積について閉じており、$L$の部分環になります。$\alpha \in K\mathrm{\setminus }\{0\}$なら、
$$\alpha \cdot {\alpha }^{p^m-2}={\alpha }^{p^m-1}=1$$
が成立するので、$K$が体であることが示されました。これは位数$p^m$の有限体ですから、${\mathbb{F}}_{p^m}$と書くことにします。

$H$に戻ります。実は、$H$は、$m$の約数次の既約モニック多項式全体の集合に一致します。後者を$H^{\prime }$とおいて$H=H^{\prime }$を示しましょう。
$H\subset H^{\prime }$について。$h\in H$を任意に取ると、$h$の$L$における根の一つ$\alpha$を${\mathbb{F}}_p$に添加した体${\mathbb{F}}_p[\alpha ]$は、$L/{\mathbb{F}}_p$の中間体になります。すると、$[L:{\mathbb{F}}_p]=[L:{\mathbb{F}}_p[\alpha ]][{\mathbb{F}}_p[\alpha ]:{\mathbb{F}}_p]$より、拡大次数$[{\mathbb{F}}_p[\alpha ]:{\mathbb{F}}_p]$は$[L:{\mathbb{F}}_p]$の約数になります。しかし今、$L=K={\mathbb{F}}_{p^m}$ですから、$[L:{\mathbb{F}}_p]=m$です。よって$H\subset H^{\prime }$が示されました。
$H^{\prime }\subset H$について。$h\in H^{\prime }$を任意に取ると、$m$の約数$n$を用いて、$\mathrm{deg}(h)=n$と書けます。$h$の根の一つ$\alpha$を${\mathbb{F}}_p$に添加した体${\mathbb{F}}_p[\alpha ]$は$n$次拡大なので、位数$p^n$の有限体となります。よって、ラグランジュの定理から、${\alpha }^{p^n}-\alpha$となり、$m=nl$とおくと、
$$\frac{p^m-1}{p^n-1}=p^{n(l-1)}+\cdots +1\in \mathbb{Z}$$
であるので、${\alpha }^{p^m}-\alpha =0$です。したがって、$h$の根は$K$の元になり、$h$は最小多項式だから、$h\in H$となります。

以上により、$f(T)$の素式分解
$$\begin{gathered} T^{p^m}-T=\prod _{h\in {\mathbb{F}}_p[T];prime \\ \mathrm{deg}(h)|m}h \end{gathered}$$
が得られました。両辺の次数を比較すれば、
$$p^m=\sum _{n|m}n\kappa (n)$$
となります。ゼータ関数の計算にはここまでで十分なのですが、これは$m$の乗法的関数ですので、一応、メビウスの反転公式を用いて、
$$\begin{gathered} n\kappa (n)=\sum _{m|n}\mu \left(\frac{n}{m}\right)p^m \\ \therefore \kappa (n)=\frac{1}{n}\sum _{m|n}\mu \left(\frac{n}{m}\right)p^m \end{gathered}$$
とすることができます。

${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)$を求める

$${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p^{-ns}{)}^{-\kappa (n)}$$
を変形します。$u=p^{-s}$とおき、右辺の対数を取ると、
$$\begin{gathered} \log (\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p^{-ns}{)}^{-\kappa (n)}) \\ =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\log ((1-u^n{)}^{-\kappa (n)}) \\ =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\kappa (n)\log (1-u^n) \\ =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\kappa (n)\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{nm}}{m} \\ =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{nm}}{nm}n\kappa (n) \\ =\sum _{M=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^M}{M}\sum _{n|M}n\kappa (n) \\ =\sum _{M=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^M}{M}{p}^M \\ =-\log (1-pu) \\ =-\log (1-p^{1-s}) \end{gathered}$$
以上より、
$${\zeta }_{{\mathbb{F}}_p[T]}(s)=\frac{1}{1-p^{1-s}}$$
と求まりました。

おわりに

とても面白い計算だと思いました。ゼータ関数に魅せられる人が多いのもわかる気がします。
読んでいただきありがとうございました。