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大学数学基礎解説
文献あり

双曲線の性質とモジュラス付きAbelの定理

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この記事では次の定理を証明します.

図のように双曲線x2y2=1と円が各象限に1つずつ交点を持つとき、赤い部分と青い部分の面積は等しい.

双曲線x2y21上の点Pに対し、OPx軸およびx2y21で囲まれる部分の符号付き面積をA(P)と定めます(符号は奇数象限を正、偶数象限を負と定めます).実は定理1より強く次のことが成り立ちます:

双曲線x2y2=1と円が重複を含めて4点P1,,P4で交わるとき、i=14A(Pi)=0.

以下ではこの定理2のほうを証明します.

準備

Ux2y2=1で定まるC2の閉部分集合とします.するとUには自然にRiemann面の構造が誘導されます.最初に考えていた双曲線はUR2と表せますが、双曲線だけを考えるのではなくU全体を考える方が見通しよく証明ができます.この節では準備としてU上の正則1形式とその積分について考えます.

U上の正則1形式の例として特にω=dxyを考えましょう.ωが実際にU上正則であることは、Uのパラメータ表示(x,y)=(coshz,sinhz)を用いるとω=dzと書けることから分かります.このように表すとωはいかにもU上の代表的な微分形式のように見えます.実際あとで見るように、U上の正則1形式であって「無限遠に高々1位の極を持つ」ようなものはωの定数倍に限られます.

U上の任意の閉曲線γに対してγω2πiZが成り立つ.

Cauchyの積分定理より、γωの値はγのホモロジー類のみで決まる.そこでH1(U,Z)を求めよう.正則写像
CU;z(coshz,sinhz)
は被覆写像であり同型C/2πiZUを誘導することが容易にわかる.よってH1(U,Z)H1(C/2πiZ,Z)Zであり、その生成元としては
γ0:[0,2π]U; t(cost,isint)
の類が取れることがわかる.γ0ω=2πiなのでよい.

上の補題より、U上の2点P,Qを結ぶパスγ,γに対して
γω=γωC/2πiZ
であることがわかります.そこでこの値をPQωC/2πiZと定めます.

定理の言い換え

実は冒頭に述べたA(P)の値はU上の積分を用いて表すことができます:

P0=(1,0)Uとすると、P=(p,q)UR2に対して
P0Pω={2A(P)(p>0)2A(P)+πi(p<0).

まずp>0,q>0の場合を考える.U上でx2y2=1であることに注意すると、ωxdyydxとも表すことができる.U上のパスγ:[0,p]Uγ(t)=(t,t21)で定めると
P0Pω=γω=γxdyydx
となる.最後の表示が2A(P)に等しいことは容易にわかる.p>0,q<0の場合も同様である.

次にp<0の場合を考える.P0=(1,0)とおくと、上と同様の計算によりP0Pω=2A(P)がわかる.一方、U上のパスη:[0,π]Uη(t)=(cost,isint)で定めると
P0P0ω=ηω=πi
となる.これらを合わせれば主張が得られる.

これにより定理2の主張は「双曲線x2y2=1と円が重複を含めて4点で交わるとき、交点にわたるP0Pωの総和は0C/2πiZである」と言い換えられます.ここでDiv(U)U上のWeil因子のなすAbel群とし、準同型u:Div(U)C/2πiZ
u(nP[P])=nPP0Pω
で定めます.上述のことから、定理2を示すには以下を示せば十分であることが分かります.

多項式F(x,y)=(xa)2+(yb)2c (a,b,cR,c>0)に対してu(div(F))=0である.

定理5では「双曲線と円が4点で交わる」という条件が無くなっていることに注意します.UR2だけでなくU全体の上で交点を考えることで、このような不自然な条件を取り除くことができるわけです.

定理5の最も簡単な例として単位円を考えましょう.F0(x,y)=x2+y21とするとdiv(F0)=2[(1,0)]+2[(1,0)]であり、補題4より
u(2[(1,0)]+2[(1,0)])=0+2πi=0C/2πiZ
なので、定理5は確かに成立しています.一般のF(x,y)に対してはdiv(F)=div(F0)+div(F/F0)なので、定理4の主張は
u(div(F/F0))=0
と言い換えられます.ここでXP2におけるUの閉包とすると、XUは2点(1:±1:0)からなり、F/F0|XU=1となります.よって定理5を示すには次のことを示せば十分です.

fk(X)×f|XU=1を満たすならばu(div(f))=0である.

証明

あとは定理6を示すのみとなりました.ここではまず直接的な方法を述べ、次節で「モジュラス付きAbelの定理」を用いた別証明を紹介します.

まずXP1
P1X; t(t+t12,tt12)
によって同一視します.この同型によりUP{0,}に対応し、P0X1P1に対応します.またU上の1形式ωP1{0,}上の1形式dttに対応することも容易にわかります.
1Pdtt=logPC/2πiZ
なので、定理6は次のように言い換えられます.

f(0)=f()=1を満たす有理式fk(t)×に対し、div(f)=nP[P]Div(P1{0,})とおくとnPlogP=0C/2πiZである.

f(t)=antn+an1tn1++a0bmtm+bn1tn1++b0 (an,bm0)と表す.仮定f(0)=f()=1よりn=m, an=bn,a0=b0が分かる.分子の零点をP1,,Pnとし、分母の零点をQ1,,Qnとすると、解と係数の関係より
P1Pn=(1)na0an=(1)nb0bn=Q1Qn
となる.div(f)=i=1n[Pi]i=1n[Qi]であり、i=1nlog(Pi)i=1nlog(Qi)=0C/2πiZなのでよい.

モジュラス付きAbelの定理

実は定理6は「モジュラス付きAbelの定理」というものの一例になっています.ここではその定理を紹介します.

XをコンパクトRiemann面とし、DX上の有効因子、U=X|D|とします.このような組(X,D)をモジュラス付き曲線といい、Dをそのモジュラスといいます.モジュラス付き曲線やその高次元版である「モジュラス対」を1つの幾何学的対象として扱う見方は、最近の代数幾何学や数論においても重要視されています.

さて、ここでDにのみ極を許したX上の有理型1形式の空間H0(X,ΩX(D))を考えましょう.閉曲線に沿った積分により準同型
H1(U,Z)H0(X,ΩX(D))
が得られます.実はこの準同型は単射で、像は離散的であることが知られています.
JX,D=H0(X,ΩX(D))/H1(U,Z)
と定め、(X,D)のGeneralized Jacobianといいます.U内の点P,Qを結ぶパスγ,γに対して
γ=γH0(X,ΩX(D))/H1(U,Z)
なので、この値をPQJX,Dと定めます.さらにP0Uを固定し、準同型u:Div(U)JX,D
u(nP[P])=nPP0P
により定めます.uはAbel-Jacobi写像と呼ばれています.このとき次の定理が成り立ちます:

モジュラス付きAbel-Jacobiの定理、Rosenlicht

(1)uの核はD-principal divisorと[P0]で生成される.ただしD-principal divisorとは、f|D=1を満たすfk(X)×を用いてdiv(f)と表せる因子のことを指す.
(2)uは全射である.

(1)はAbelの定理、(2)はJacobiの定理と呼ばれるものモジュラス付き版であり、いずれもRosenlichtによって示されました.ここではこの定理を認めた上で、(1)から定理6が従うことを説明します.

Ux2y2=1で定まるRiemann面、XをそのP2における閉包とし、D=[(1:1:0)]+[(1:1:0)]とします.するとXP1であることからΩX(D)OXがわかるので、dimH0(X,ΩX(D))=1となります.またω=dxyはこの空間の基底をなしています.実際、同型XP1によってωdttに対応しますが、後者は0にのみ1位の極を持つことが容易にわかります.

よってこの場合H0(X,ΩX(D))C;αα(ω)となります.またH1(X,Z)の像は2πiZCに対応するので、JX,DC/2πiZであり、Abel-Jacobi写像は
u:Div(U)C/2πiZ; nP[P]nPP0Pω
と同一視できます.以上より定理6が定理8(1)から従うことがわかります.

おまけ

ここに書いたのと同様の手法によって、次のような定理も示すことができます:

F(x,y)xdiyiiは奇数)の項を含まないd次多項式とする.F(x,y)=0と円x2+y2=1が重複を含めて2d個の点{(cosθi,sinθi)}i=12dで交わるならば、i=12dθi=0R/2πZが成り立つ.

この定理から特に、d次関数のグラフ(d2)と単位円が2d個の点で交わるとき、交点の偏角の総和は0R/2πZであることがわかります.大雑把に言えば、x2y2=1を全てx2+y2=1に置き換え、ωdxyに置き換えて上と同様の議論をすれば証明できます.ぜひ考えてみてください.

参考文献

[1]
Rosenlicht, Maxwell, Generalized Jacobian varieties, Ann. of Math., 1954, pp.505–530
投稿日:2021221
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J_Koizumi
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