この記事では次の定理を証明します.
図のように双曲線と円が各象限に1つずつ交点を持つとき、赤い部分と青い部分の面積は等しい.
双曲線上の点に対し、と軸およびで囲まれる部分の符号付き面積をと定めます(符号は奇数象限を正、偶数象限を負と定めます).実は定理1より強く次のことが成り立ちます:
以下ではこの定理2のほうを証明します.
準備
をで定まるの閉部分集合とします.するとには自然にRiemann面の構造が誘導されます.最初に考えていた双曲線はと表せますが、双曲線だけを考えるのではなく全体を考える方が見通しよく証明ができます.この節では準備として上の正則1形式とその積分について考えます.
上の正則1形式の例として特にを考えましょう.が実際に上正則であることは、のパラメータ表示を用いるとと書けることから分かります.このように表すとはいかにも上の代表的な微分形式のように見えます.実際あとで見るように、上の正則1形式であって「無限遠に高々1位の極を持つ」ようなものはの定数倍に限られます.
Cauchyの積分定理より、の値はのホモロジー類のみで決まる.そこでを求めよう.正則写像
は被覆写像であり同型を誘導することが容易にわかる.よってであり、その生成元としては
の類が取れることがわかる.なのでよい.
上の補題より、上の2点を結ぶパスに対して
であることがわかります.そこでこの値をと定めます.
定理の言い換え
実は冒頭に述べたの値は上の積分を用いて表すことができます:
まずの場合を考える.上でであることに注意すると、はとも表すことができる.上のパスをで定めると
となる.最後の表示がに等しいことは容易にわかる.の場合も同様である.
次にの場合を考える.とおくと、上と同様の計算によりがわかる.一方、上のパスをで定めると
となる.これらを合わせれば主張が得られる.
これにより定理2の主張は「双曲線と円が重複を含めて4点で交わるとき、交点にわたるの総和はである」と言い換えられます.ここでを上のWeil因子のなすAbel群とし、準同型を
で定めます.上述のことから、定理2を示すには以下を示せば十分であることが分かります.
定理5では「双曲線と円が4点で交わる」という条件が無くなっていることに注意します.だけでなく全体の上で交点を考えることで、このような不自然な条件を取り除くことができるわけです.
定理5の最も簡単な例として単位円を考えましょう.とするとであり、補題4より
なので、定理5は確かに成立しています.一般のに対してはなので、定理4の主張は
と言い換えられます.ここでをにおけるの閉包とすると、は2点からなり、となります.よって定理5を示すには次のことを示せば十分です.
証明
あとは定理6を示すのみとなりました.ここではまず直接的な方法を述べ、次節で「モジュラス付きAbelの定理」を用いた別証明を紹介します.
まずとを
によって同一視します.この同型によりはに対応し、はに対応します.また上の1形式は上の1形式に対応することも容易にわかります.
なので、定理6は次のように言い換えられます.
と表す.仮定よりが分かる.分子の零点をとし、分母の零点をとすると、解と係数の関係より
となる.であり、なのでよい.
モジュラス付きAbelの定理
実は定理6は「モジュラス付きAbelの定理」というものの一例になっています.ここではその定理を紹介します.
をコンパクトRiemann面とし、を上の有効因子、とします.このような組をモジュラス付き曲線といい、をそのモジュラスといいます.モジュラス付き曲線やその高次元版である「モジュラス対」を1つの幾何学的対象として扱う見方は、最近の代数幾何学や数論においても重要視されています.
さて、ここでにのみ極を許した上の有理型1形式の空間を考えましょう.閉曲線に沿った積分により準同型
が得られます.実はこの準同型は単射で、像は離散的であることが知られています.
と定め、のGeneralized Jacobianといいます.内の点を結ぶパスに対して
なので、この値をと定めます.さらにを固定し、準同型を
により定めます.はAbel-Jacobi写像と呼ばれています.このとき次の定理が成り立ちます:
モジュラス付きAbel-Jacobiの定理、Rosenlicht
(1)の核は-principal divisorとで生成される.ただし-principal divisorとは、を満たすを用いてと表せる因子のことを指す.
(2)は全射である.
(1)はAbelの定理、(2)はJacobiの定理と呼ばれるものモジュラス付き版であり、いずれもRosenlichtによって示されました.ここではこの定理を認めた上で、(1)から定理6が従うことを説明します.
をで定まるRiemann面、をそのにおける閉包とし、とします.するとであることからがわかるので、となります.またはこの空間の基底をなしています.実際、同型によってはに対応しますが、後者はとにのみ1位の極を持つことが容易にわかります.
よってこの場合となります.またの像はに対応するので、であり、Abel-Jacobi写像は
と同一視できます.以上より定理6が定理8(1)から従うことがわかります.
おまけ
ここに書いたのと同様の手法によって、次のような定理も示すことができます:
を(は奇数)の項を含まない次多項式とする.と円が重複を含めて個の点で交わるならば、が成り立つ.
この定理から特に、次関数のグラフ()と単位円が個の点で交わるとき、交点の偏角の総和はであることがわかります.大雑把に言えば、を全てに置き換え、をに置き換えて上と同様の議論をすれば証明できます.ぜひ考えてみてください.