代数学の基本定理の短い証明を紹介します.実はBrouwerの不動点定理を少し拡張したものを用いるとすんなり示せてしまいます.
D2={z∈C∣|z|≤1}, S1={z∈C∣|z|=1}と定義します.
n≥1とし、q:D2→D2を連続写像とすると、zn+q(z)はD2内に零点を持つ.
全てのz∈D2に対してzn≠−q(z)であると仮定して矛盾を導く.−q(z)を始点としznを通る半直線とS1の交点をh(z)と定めると連続写像h:D2→S1が得られる.h|S1はz↦znと表せるので写像度nだが、h|S1は可縮な空間D2を経由するので写像度0であり矛盾する.
n≥1とし、a0,…,an−1∈Cとする.このときzn+an−1zn−1+⋯+a0はC内に零点を持つ.
必要ならばzをRz (R≫0)に置き換えることで∑i|ai|≤1としてよい.q(z)=an−1zn−1+⋯+a0に対して定理1を適用すれば主張が得られる.
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