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大学数学基礎解説
文献あり

代数学の基本定理の短い証明

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代数学の基本定理の短い証明を紹介します.実はBrouwerの不動点定理を少し拡張したものを用いるとすんなり示せてしまいます.

D2={zC|z|1}, S1={zC|z|=1}と定義します.

Brouwerの不動点定理の拡張

n1とし、q:D2D2を連続写像とすると、zn+q(z)D2内に零点を持つ.

全てのzD2に対してznq(z)であると仮定して矛盾を導く.q(z)を始点としznを通る半直線とS1の交点をh(z)と定めると連続写像h:D2S1が得られる.h|S1zznと表せるので写像度nだが、h|S1は可縮な空間D2を経由するので写像度0であり矛盾する.

代数学の基本定理

n1とし、a0,,an1Cとする.このときzn+an1zn1++a0C内に零点を持つ.

必要ならばzRz (R0)に置き換えることでi|ai|1としてよい.q(z)=an1zn1++a0に対して定理1を適用すれば主張が得られる.

参考文献

[1]
中岡稔, 不動点定理とその周辺, 数学選書, 岩波書店, 1977
投稿日:2021222
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J_Koizumi
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