ディリクレ積分の証明

ディリクレ積分を証明します！

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx} \\ {\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-xy}dydx} \\ {\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{y^2+1}dy=\frac{\pi }{2}} \end{gathered}$$

できました！