z変換：1/n!のz変換を求める。

$$f(x):=e^x$$とおく。$f(x)$を$0$のまわりでテイラー展開して
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$$ただし、$f^{(n)}(x)$は$f(x)$の$n$階微分。ここで$e^x$は微分しても変化しない性質をもつ。つまり$f^{(1)}(x)=e^x=f(x)$なので
$$f^{(n)}(x)=e^x$$となる。$f^{(n)}(0)=e^0=1$。よって
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$ここで$x=\frac{1}{z}$を代入すると、$\underset{x\to 0}{lim}{f}^{(n)}(x)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{(n)}\left(\frac{1}{z}\right)=f^{(n)}\left(0\right)$なので
$$\begin{array}{rclrcl}f\left(\frac{1}{z}\right)& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{1}{z}\right)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{z}^{-n}=\mathcal{Z}\left[\frac{1}{n!}\right]& & & (\text{収束領域は}|z|>0)\end{array}$$となる。
一方で$f\left(\frac{1}{z}\right)=e^{\frac{1}{z}}$なので命題が示された。

$$f(n):=\frac{1}{n!}$$とおくと漸化式
$$f(n)=\frac{1}{n}\frac{1}{(n-1)!}={\displaystyle \frac{f(n-1)}{n}}$$が得られる。この漸化式に離散デルタ関数$\delta (n)$と単位階段関数$u(n)$を使って初期値$f(0)=1$を埋め込んで
$$\begin{array}{rcl}f(n)& =& \{\begin{array}{cc}1& (n=0)\\ {\displaystyle \frac{f(n-1)}{n}}& (n>0)\end{array}\\ & =& \delta (n)+{\displaystyle \frac{f(n-1)}{n}}u(n-1)& & \end{array}$$両辺を$z$変換する。$\underset{n\to 0}{lim}f(n-1)u(n-1)=0$なので$z$変換の積分則を使って
$$\begin{array}{rclr}F(z)& =& 1+\mathcal{Z}[{\displaystyle \frac{f(n-1)}{n}}u(n-1)]& \because \mathcal{Z}[\delta (n)]=1\\ & =& 1+{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-1}\mathcal{Z}[f(n-1)u(n-1)]dw\\ & =& 1+{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-2}\mathcal{Z}[f(n)u(n)]dw& \because z\text{変換のシフト則}\\ & =& 1+{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{w}^{-2}F(z)dw\end{array}$$ただし$F(z):=\mathcal{Z}[f(n)]$。ここで両辺を$z$で微分して
$$\frac{d}{dz}F(z)=-z^{-2}F(z)$$これは変数分離型の微分方程式なので
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{dF(z)}{F(z)}& =& \int -z^{-2}dz\\ ⟹\\ \log F(z)& =& \frac{1}{z}+C_0\\ \therefore F(z)& =& e^{\frac{1}{z}+C_0}=C_1\cdot e^{\frac{1}{z}}& & & (\text{収束領域は}|z|>0)\end{array}$$ ただし、$C_0,C_1$は積分定数。
積分定数$C_1$を求める。$z$変換の初期値の定理から$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}F(z)=f(0)$なので両辺の$z\to \mathrm{\infty }$の極限をとって
$$f(0)=C_1\cdot \underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{1}{z}}=C_1\cdot 1=C_1$$ $f(0)=1$なので$F(z)=\mathcal{Z}\left[\frac{1}{n!}\right]=e^{\frac{1}{z}}$となり、命題が示された。