z変換：1/n!のz変換を求める。
目的
- $\frac1{n!}$の$z$変換を二通りの方法で求める。
$\frac1{n!}$の$z$変換
$$ \BEQ \ZT{\frac1{n!}}=e^{\frac1{z}} &&& (\text{収束領域は} |z|>0) \EEQ $$
$$
f(x):=e^{x}
$$とおく。$f(x)$を$0$のまわりでテイラー展開して
$$
f(x)=\SO{n}f^{(n)}(0) \frac{x^n}{n!}
$$ただし、$f^{(n)}(x)$は$f(x)$の$n$階微分。ここで$e^x$は微分しても変化しない性質をもつ。つまり$f^{(1)}(x)=e^x=f(x)$なので
$$
f^{(n)}(x)=e^x
$$となる。$f^{(n)}(0)=e^0=1$。よって
$$
f(x)=\SO{n}\frac{x^n}{n!}
$$ここで$x=\frac1z$を代入すると、$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)=\lim_{z \to \infty} f^{(n)}\left(\frac1z \right)=f^{(n)}\left(0 \right)$なので
$$
\BEQ
f\left(\frac1z \right)&=&\SO{n} \frac1{n!} \left(\frac1z \right)^n=\SO{n} \frac1{n!} z^{-n}=\ZT{\frac1{n!}} &&& (\text{収束領域は} |z|>0)
\EEQ
$$となる。
一方で$f\left(\frac1z \right)=e^{\frac1z}$なので命題が示された。
$$
f(n):=\frac1{n!}
$$とおくと漸化式
$$
f(n)=\frac1n \frac1{(n-1)!}=\dfrac{f(n-1)}{n}
$$が得られる。この漸化式に離散デルタ関数$δ(n)$と単位階段関数$u(n)$を使って初期値$f(0)=1$を埋め込んで
$$
\begin{eqnarray}
f(n)
&=&
\left\{
\begin{array}{l}
1 & (n=0)\\
\dfrac{f(n-1)}{n} & (n>0)
\end{array}
\right.\\
&=& \delta(n)+\dfrac{f(n-1)}{n} u(n-1)
&&
\end{eqnarray}
$$両辺を$z$変換する。$\lim_{n\to 0}f(n-1)u(n-1)=0$なので$z$変換の積分則を使って
$$
\BEQ
F(z)
&=& 1+\ZT{\dfrac{f(n-1)}{n} u(n-1)} & \because \ZT{δ(n)}=1 \\
&=& 1+\Iz w^{-1} \ZT{f(n-1)u(n-1)} dw\\
&=& 1+\Iz w^{-2} \ZT{f(n)u(n)} dw & \because z \text{変換のシフト則}\\
&=& 1+\Iz w^{-2} F(z) dw\\
\EEQ
$$ただし$F(z):=\ZT{f(n)}$。ここで両辺を$z$で微分して
$$
\frac{d}{dz} F(z)=-z^{-2}F(z)
$$これは変数分離型の微分方程式なので
$$
\BEQ
\int \frac{dF(z)}{F(z)} &=&\int -z^{-2}dz\\
\Longrightarrow \\
\log F(z)&=&\frac1z+C_0\\
\therefore F(z)&=&e^{\frac1z+C_0}=C_1\cdot e^{\frac1z} &&& (\text{収束領域は}|z|>0) \\
\EEQ
$$ ただし、$C_0,C_1$は積分定数。
積分定数$C_1$を求める。$z$変換の初期値の定理から$\lim_{z\to \infty} F(z)=f(0)$なので両辺の$z \to \infty$の極限をとって
$$
f(0)=C_1 \cdot \lim_{z \to \infty} e^{\frac1z}=C_1 \cdot 1=C_1
$$ $f(0)=1$なので$F(z)=\ZT{\frac1{n!}}=e^{\frac1z}$となり、命題が示された。
