24

e^π>π^eの最速証明など ( e^x>=x+1が役立つ2つの例 )

1775
0

xy+yx>1

以前の記事「不等式 x^y+y^x>1 の秀逸な証明」では, そのタイトルにある不等式をベルヌーイの不等式を使うことでうまく証明できることを書いた. このような指数型不等式では, ベルヌーイの不等式の他にも "ある不等式" がとてもよいはたらきをすることがある.

ある不等式

  1. exx+1 (等号成立はx=0のとき).

この不等式は見た目以上に役に立つ. この不等式が証明のカギになる2つの例を紹介しよう. (不等式(1)の証明は難しくないので省略)

eπ>πeの最速証明

eπ>πe.

これは誘導付きで大学入試でも出題されるような問題だ. 実際, 今年の芝浦工大でも出題されている.
以下の関数の極値を求め, それを利用して命題1の不等式を証明するというのが一般的な方法だろう.
 f(x)=x1x or f(x)=logxx.

実は, 上記の関数を使わないエレガントな証明が知られているのでそれを紹介する.

(1)にx=πe1を代入すると eπe1>πe となり, したがって eπ>πe. 

もちろん, 一般的には次の様になることはすぐにわかる.

exxe (等号成立はx=eのとき).

Pólyaによる相加・相乗平均の不等式の証明

相加・相乗平均の不等式

xi>0 (i=1,2,,n)とするとき,

x1+x2++xnn(x1x2xn)1n.

(等号成立は x1=x2==xn のとき)

この不等式の証明は数多く知られているが, 私はPólyaによる証明が気に入っている. この証明もまた不等式(1)がカギになっている.

by Pólya

Sn=x1+x2++xnとし, 相加平均をAn=Snn, 相乗平均をGn=(x1x2xn)1nとする. 
 i=1n(nxiSn1)=nSnSnn=0に注意して,
 1=e0=i=1nenxiSn1i=1nnxiSn (by (1))=(nGnSn)n=(GnAn)n. ゆえに, AnGn.   

投稿日:2021224
更新日:202471
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

H.O.
H.O.
47
3535

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. $x^y+y^x>1$
  2. ある不等式
  3. $e^\pi>\pi^e$の最速証明
  4. Pólyaによる相加・相乗平均の不等式の証明