東大数学2013を簡単に解く

この記事では, 東大数学2013の第3問を簡単に解こうと思います. たぶん他のサイトでは見かけない解法だと思います.

問題は以下です. (表記を一部変えました.)

これの$(2)$のみを簡単に解きたいと思います.

ちなみに, $(1)$は ($n$の2次式 )$\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ みたいな形になるので, 地道にやるとかなり面倒な計算問題となっています.
$$

(解答)

$(2)$の値は最終的に$A$が勝利する確率を表しています. これは収束するので$p$とおきます.

また補助的に, 以下の条件の場合に最終的に$A$(=先手)が勝利する確率も決めておきます.
$$
・先手も後手も1点取れば勝利の場合: $q$
・先手は1点, 後手は2点取れば勝利の場合: $r$
・先手は2点, 後手は1点取れば勝利の場合: $s$

次にこれらの間に成り立つ関係を考えます.

まず$q$は, はじめに表が出れば終わりで, 初めに裏が出れば後手は全く同じ状況なので

$$q=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-q)$$
が成り立ちます.($1-q$は後手が負ける確率です) これより$q={\displaystyle \frac{2}{3}}$が分かります.
$$

今度は$r,s$についても同様にして,

$$\begin{array}{rcl}r& =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-s)\\ s& =& \frac{1}{2}q+\frac{1}{2}(1-r)\end{array}$$
となります. (コインを持っている人が変わると$r,s$も入れ替わることに注意します. ) これらを解いて$r={\displaystyle \frac{7}{9}},s={\displaystyle \frac{4}{9}}$を得ます.
$$

最後に$p$については,

$$p=\frac{1}{2}r+\frac{1}{2}(1-p)$$
が成り立つので, $p={\displaystyle \frac{16}{27}}$と求めることができました.
$$

読んで下さった方, ありがとうございました.