東大数学2013を簡単に解く
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この記事では, 東大数学2013の第3問を簡単に解こうと思います. たぶん他のサイトでは見かけない解法だと思います.
問題は以下です. (表記を一部変えました.)
$\space$$A,B$の2人がいる. 表裏が等確率で出るコインが1枚あり, 最初は$A$が持っている. 次の操作を繰り返す.
$\space$$(ⅰ)$$A$がコインを持っている時に表が出れば, $A$に$1$点を与え, コインは$A$がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, $A$はコインを$B$に渡す.
$\space$$(ⅱ)$$B$がコインを持っている場合も全く同様にする.
$\space$そして$A,B$のいずれかが$2$点獲得した時点でその者の勝利とし, 操作を終える. 例えば, 表/裏/表/表 と出た場合は$B$の勝利となる.
$\space$$(1)$2人合わせてちょうど$n$回投げたときに$A$の勝利となる確率$p_n$を求めよ.
$\space$$(2)$$\ds\sumn{1}p_n$を求めよ.
これの$(2)$のみを簡単に解きたいと思います.
ちなみに, $(1)$は ($n$の2次式 )$\cdot\dfrac{1}{2^n}$ みたいな形になるので, 地道にやるとかなり面倒な計算問題となっています.
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(解答)
$(2)$の値は最終的に$A$が勝利する確率を表しています. これは収束するので$p$とおきます.
また補助的に, 以下の条件の場合に最終的に$A$(=先手)が勝利する確率も決めておきます.
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・先手も後手も1点取れば勝利の場合: $q$
・先手は1点, 後手は2点取れば勝利の場合: $r$
・先手は2点, 後手は1点取れば勝利の場合: $s$
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次にこれらの間に成り立つ関係を考えます.
まず$q$は, はじめに表が出れば終わりで, 初めに裏が出れば後手は全く同じ状況なので
$$ q=\frac12+\frac12(1-q)$$
が成り立ちます.($1-q$は後手が負ける確率です) これより$q=\dfrac23$が分かります.
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今度は$r,s$についても同様にして,
$$\beq
r&=&\frac12+\frac12(1-s)\\
s&=&\frac12q+\frac12(1-r)
\eeq$$
となります. (コインを持っている人が変わると$r,s$も入れ替わることに注意します. ) これらを解いて$r=\dfrac79, s=\dfrac49$を得ます.
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最後に$p$については,
$$ p=\frac12r+\frac12(1-p)$$
が成り立つので, $p=\dfrac{16}{27}$と求めることができました.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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