Fagnanoの発見（楕円積分）
下記の２つの多項式$X,Z$において、また方程式(1)において$h,l,f,g$は定数とする.
方程式(1) $(fhx^2z^2)^s+(flx^2)^s+(flz^2)^s+(gl)^s=0$
(多項式$X$) $$\frac{dx\sqrt{hx^2+l}}{\sqrt{fx^2+g}}$$
(多項式$Z$) $$\frac{dz\sqrt{hz^2+l}}{\sqrt{fz^2+g}}$$
方程式(1)において$s=1$なら$X+Z$の積分は$$\frac{-hxz}{\sqrt{-fl}}$$
方程式(1)において$s=-1$なら$X+Z$の積分は$$\frac{xz\sqrt{-h}}{\sqrt{g}}$$
(i) $s=1$のとき,方程式(1) $fhx^2z^2+flx^2+flz^2+gl=0$
$$z^2=\frac{-flx^2-gl}{fhx^2+fl},x^2=\frac{-flz^2-gl}{fhz^2+fl}$$
より,
$$\frac{1}{z}=\pm\frac{\sqrt{f}\sqrt{hx^2+l}}{\sqrt{-l}\sqrt{fx^2+g}},\frac{1}{x}=\pm\frac{\sqrt{f}\sqrt{hz^2+l}}{\sqrt{-l}\sqrt{fz^2+g}}$$
方程式(1)より,$fhx^22zdz+fhz^22xdx+fl2xdx+fl2zdz=0$
$2fxz$で両辺を割ると,
$$hxdz+hzdx+\frac{ldx}{z}+\frac{ldz}{x}=0$$
$\sqrt{-fl}$で両辺を割ると,
$$\frac{hxdz}{\sqrt{-fl}}+\frac{hzdx}{\sqrt{-fl}}\pm(X+Z)=0$$
両辺を積分すると,
$$\frac{hxz}{\sqrt{-fl}}\pm \left(\int X+\int Z \right)=0$$
(ii) $s=-1$のとき,
$$\frac{1}{fhx^2z^2}+\frac{1}{flx^2}+\frac{1}{flz^2}+\frac{1}{gl}=0$$
$$gl+ghz^2+ghx^2+fhx^2z^2=0$$
以下同様
参考文献
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