Fagnanoの発見（楕円積分）

楕円積分

楕円、双曲線、サイクロイドの弧の新たな測定を取り出す定理

下記の２つの多項式 $X, Z$ において、また方程式(1)において $h, l, f, g$ は定数とする.

方程式(1) $(f h x^{2} z^{2})^{s} + (f l x^{2})^{s} + (f l z^{2})^{s} + (g l)^{s} = 0$

(多項式 $X$ ) $\frac{d x \sqrt{h x^{2} + l}}{\sqrt{f x^{2} + g}}$

(多項式 $Z$ ) $\frac{d z \sqrt{h z^{2} + l}}{\sqrt{f z^{2} + g}}$

方程式(1)において $s = 1$ なら $X + Z$ の積分は $\frac{- h x z}{\sqrt{- f l}}$
方程式(1)において $s = - 1$ なら $X + Z$ の積分は $\frac{x z \sqrt{- h}}{\sqrt{g}}$

(i) $s = 1$ のとき,方程式(1) $f h x^{2} z^{2} + f l x^{2} + f l z^{2} + g l = 0$
$z^{2} = \frac{- f l x^{2} - g l}{f h x^{2} + f l}, x^{2} = \frac{- f l z^{2} - g l}{f h z^{2} + f l}$
より,
$\frac{1}{z} = \pm \frac{\sqrt{f} \sqrt{h x^{2} + l}}{\sqrt{- l} \sqrt{f x^{2} + g}}, \frac{1}{x} = \pm \frac{\sqrt{f} \sqrt{h z^{2} + l}}{\sqrt{- l} \sqrt{f z^{2} + g}}$
方程式(1)より, $f h x^{2} 2 z d z + f h z^{2} 2 x d x + f l 2 x d x + f l 2 z d z = 0$
$2 f x z$ で両辺を割ると,
$h x d z + h z d x + \frac{l d x}{z} + \frac{l d z}{x} = 0$
$\sqrt{- f l}$ で両辺を割ると,
$\frac{h x d z}{\sqrt{- f l}} + \frac{h z d x}{\sqrt{- f l}} \pm (X + Z) = 0$
両辺を積分すると,
$\frac{h x z}{\sqrt{- f l}} \pm (\int X + \int Z) = 0$

(ii) $s = - 1$ のとき,
$\frac{1}{f h x^{2} z^{2}} + \frac{1}{f l x^{2}} + \frac{1}{f l z^{2}} + \frac{1}{g l} = 0$
$g l + g h z^{2} + g h x^{2} + f h x^{2} z^{2} = 0$
以下同様