閉エピグラフに関する定理

実数$\alpha \in \mathbb{R}$を任意にとり、レベル集合$S_{f}(\alpha)$上の任意の点列$\{\mathbf{x}_n\}_{n=1}^{\infty}$を考える。当然$(\mathbf{x}_n, \alpha) \in \mathrm{epi}(f)$であり、また$\mathrm{epi}(f)$は閉集合であるから、$\lim_{n \to \infty}(\mathbf{x}_n, \alpha) = (\mathbf{x}, \alpha) \in \mathrm{epi}(f)$である。ゆえに$\mathbf{x}\in S_{f}(\alpha)$がいえて、$S_{f}(\alpha)$が閉集合であることが示された。

$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$を任意に固定し、$\lim_{n\to \infty}\mathbf{x}_n = \mathbf{x}$となる任意の点列$\{\mathbf{x}_n\}_{n=1}^{\infty}$を考える。$\liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n) = \alpha$と置く。下極限の性質により、任意の実数$\epsilon > 0$について$f(\mathbf{x}_n) < \alpha +\epsilon$を満たす$n$は無数に存在する。今ある$\epsilon > 0$を固定して$\beta=\alpha+\epsilon$と置く。$\mathbf{x}_n$の部分列$\{\mathbf{y}_{n}\}_{n=1}^{\infty}$で$\lim_{n\to \infty}f(\mathbf{y}_n) \leq \beta$を満たすものが取れる。収束列の部分列は元の列と同じ極限値に収束するので$\lim_{n\to \infty}\mathbf{y}_n = \mathbf{x}$である。$S_f(\beta)$は閉集合であるから$f(\mathbf{x})\leq \beta$である。つまり任意の実数$\epsilon > 0$について$f(\mathbf{x})\leq \alpha +\epsilon$であるから、$f(\mathbf{x}) \leq \alpha=\liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n)$がいえて、関数$f$は下半連続である。

(1)$\Rightarrow$(2):
補題2と補題3を順に適用することで、「エピグラフ$\mathrm{epi}(f)$は閉集合$\Rightarrow$関数は下半連続」が従う。

(2)$\Rightarrow$(1):
$(\mathbf{x}_{n}, \alpha_n) \in \mathrm{epi}(f)$なる$\mathrm{epi}(f)$上の点列について、極限値が$\lim_{n \to \infty}(\mathbf{x}_{n}, \alpha_n)=(\mathbf{x}, \alpha) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$なるとき、$(\mathbf{x}, \alpha)\in \mathrm{epi}(f)$を示したい。

$f(\mathbf{x}_{n})\leq \alpha_n$であるから、任意の実数$\epsilon > 0$について$f(\mathbf{x}_n) \leq \alpha_n < \alpha +\epsilon$を満たす$n$は無数に存在する。$f$の下半連続性により$f(\mathbf{x}) \leq \liminf_{n \to \infty} f(\mathbf{x}_n) < \alpha +\epsilon$であり、$\epsilon > 0$は任意の実数だから$f(\mathbf{x})\leq \alpha$がいえる。つまり$(\mathbf{x}, \alpha)\in \mathrm{epi}(f)$であり、$\mathrm{epi}(f)$は閉集合である。

定理1と補題により、以下が成り立つので、同値性が示される。

• 関数$f$は下半連続 $\Rightarrow$ エピグラフ$\mathrm{epi}(f)$は閉集合 （$\because$定理1）
• エピグラフ$\mathrm{epi}(f)$は閉集合$\Rightarrow$レベル集合$S_{f}(\alpha)$は閉集合　（$\because$補題2）
• レベル集合$S_{f}(\alpha)$は閉集合 $\Rightarrow$関数$f$は下半連続　（$\because$補題3）

(1)$\Rightarrow$(2)について：
実数$\alpha \in \mathbb{R}$を任意にとり、レベル集合$S_{f}(\alpha)$上の任意の点列$\{\mathbf{x}_n\}_{n=1}^{\infty}$を考える。$\lim_{n\to \infty}\mathbf{x}_n = \mathbf{x}$となるとき、$\mathbf{x} \in S_{f}(\alpha)$を示したい。 レベル集合$S_{f}(\alpha)$上に点列を取ったので、各$\mathbf{x}_{n}$について$f(\mathbf{x}_{n})\leq \alpha$である。ゆえに$\liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n) \leq f(\mathbf{x}_{n})\leq \alpha$であるが、下半連続性により$f(\mathbf{x})\leq\liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n)\leq \alpha$である。これは$\mathbf{x} \in S_{f}(\alpha)$を意味する。ゆえに$S_f(\alpha)$は閉集合である。

(2)$\Rightarrow$(1)について（補題3の別証明）：
$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$を任意に固定し、$\lim_{n\to \infty}\mathbf{x}_n = \mathbf{x}$となる任意の点列$\{\mathbf{x}_n\}_{n=1}^{\infty}$を考える。$\liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n) = \alpha$と置く。下極限の性質により、任意の実数$\epsilon > 0$について$f(\mathbf{x}_n) < \alpha +\epsilon$を満たす$n$は無数に存在する。今ある$\epsilon > 0$を固定して$\beta=\alpha+\epsilon$と置く。$\mathbf{x}_n$の部分列$\{\mathbf{y}_{n}\}_{n=1}^{\infty}$で$f(\mathbf{y}_n) < \beta$を満たすものが取れる。収束列の部分列は元の列と同じ極限値に収束するので$\lim_{n\to \infty}\mathbf{y}_n = \mathbf{x}$である。各$\mathbf{y}_{n}$は$\{\mathbf{z} \mid f(\mathbf{z}) < \beta \}$に属するが（等号がつかないのでレベル集合ではない！）、$\mathbf{y}_n \to \mathbf{x}$が閉じるためには閉包をとって$\mathbf{x} \in \overline{\{\mathbf{z} \mid f(\mathbf{z}) < \beta \}}$となる。仮定より、任意の実数$\gamma > 0$についてレベル集合$S_f(\beta + \gamma)$は閉集合である。また明らかに
\begin{equation} \{\mathbf{z} \mid f(\mathbf{z}) < \beta \}\subset S_f(\beta + \gamma) \end{equation}
である。閉集合の性質により、共通部分$\bigcap_{\gamma > 0}S_f(\beta + \gamma)$もまた閉集合である。そして
\begin{equation} \overline{\{\mathbf{z} \mid f(\mathbf{z}) < \beta \}} \subset \bigcap_{\gamma > 0}S_f(\beta + \gamma) = S_f\left(\inf_{\gamma>0} (\beta + \gamma)\right) = S_f(\beta) = S_f(\alpha + \epsilon) \end{equation}
であるから$\mathbf{x}\in S_f(\alpha + \epsilon)$すなわち$f(\mathbf{x}) \leq \alpha + \epsilon$が成り立つ。一番左の包含関係は閉包の最小性による。$\epsilon >0$は任意だから$f(\mathbf{x}) \leq \alpha = \liminf_{n\to \infty}f(\mathbf{x}_n)$がいえて、関数$f$は下半連続である。