kkkaaa氏の自作問題について

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本記事では、kkkaaa氏が 2021年1月1日に発表した次の自作問題を取り扱う。

kkkaaa, 自作問題012

$a, b, c$ を正整数とする。
$| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} |$
の最小値を求めよ。

kkkaaa氏は上記ツイートで数日後にMathlogに解説を投稿すると書いているが、Mathlogにも解説が見当たらない。先日筆者がこの問題を解いたので、本記事で筆者の解を記す。

解

$2021^{2} - 20^{2} - 21^{5} = - 60$
であるから、 $| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} |$ の最小値は $60$ 以下である。また $a, b, c$ は正の整数だから
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} \equiv 1 - 1 \equiv 0 (\mod 20)$
となる。よって $| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} |$ は $20$ の倍数である。よって
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} \in {- 40, - 20, 0, 20, 40}$
が正の整数解をもたないことを示せば、 $| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} |$ の最小値は $60$ であることがわかる。以下、このことを示す。

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 0$

まず、この方程式の正の整数解が存在しない、つまり
$20^{b} + 21^{c} = 2021^{a}$
となる正の整数 $a, b, c$ は存在しないことを示す。そこで、そのような $a, b, c$ が存在するとし、矛盾を導く。実はこの場合が最も難しい。

$b = 1$ のとき

このとき
$20 + 21^{c} = 2021^{a}$
となる。

$2021^{a} \equiv 20 (\mod 3)$
だから $a$ は奇数である。よって
$21^{c} \equiv 2021^{a} - 20 \equiv 5^{a} - 4 \equiv 1 (\mod 8)$
より $c$ は偶数である。とくに $c \geq 2$ であるから $21^{c}$ は $9$ の倍数、よって
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20 \equiv 2 (\mod 9)$
だから $a \equiv 5 (\mod 6)$ でなければならない。しかし
$3 \equiv 5^{5} \equiv 2021^{a} \equiv 20 \equiv - 1 (\mod 7)$
となって矛盾する。

$b \geq 2$ のとき

$20^{b}$ は $8$ の倍数となるので
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 21^{c} \equiv 5^{c} (\mod 8)$
である。このことから $a, c$ はともに偶数かともに奇数でなければならない。

$b \geq 2$ かつ $a, c$ がともに偶数のとき

$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} \equiv (- 1)^{b} (\mod 7)$
より $a$ は $3$ の倍数だから $a$ は $6$ の倍数でなければならない。 $c \geq 2$ だから $21^{c}$ は $3^{2} = 9$ の倍数なので
$2^{b} \equiv 20^{b} \equiv 2021^{a} \equiv 1 (\mod 9)$
より $b$ も $6$ の倍数でなければならない。よって
$2021^{a} \equiv \pm 1 (\mod 13), 20^{b} \equiv \pm 1 (\mod 13)$
より
$8^{c} \equiv 21^{c} \equiv 2021^{a} - 20^{b} \equiv 0, 2, 11 (\mod 13)$
となるが、 $8^{c} \equiv 1, 5, 8, 12 (\mod 13)$ のいずれかでなければならないから、これは不可能である。

$b \geq 2$ かつ $a, c$ がともに奇数のとき

$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} \equiv \pm 1 (\mod 7)$
より $a$ は $3$ の倍数でなければならないが、 $a$ は奇数だから
$a \equiv 3 (\mod 6)$ でなければならない。よって
$2021^{a} \equiv - 1 (\mod 9)$ かつ $2021^{a} \equiv 6^{a} \equiv 5, 8 (\mod 13)$ である。

$c = 1$ のとき、
$20^{b} \equiv 2021^{a} - 21 \equiv 0, 10 (\mod 13)$
でなければならない。しかし
$2^{b} \equiv 20^{b} \equiv 2021^{a} - 21 \equiv 5 (\mod 9)$
であるから $b \equiv 5 (\mod 6)$ である。よって $20^{b} \equiv 7^{b} \equiv 2, 11 (\mod 13)$ となって矛盾する。

$c \geq 2$ のとき
$2^{b} \equiv 20^{b} \equiv 2021^{a} \equiv - 1 (\mod 9)$
より $b \equiv 3 (\mod 6)$ となる。
$8^{c} \equiv 21^{c} = 2021^{a} - 20^{b} \equiv 0, 3, 10 (\mod 13)$ のいずれかでなければならないが、先に述べたように $8^{c} \equiv 1, 5, 8, 12 (\mod 13)$ のいずれかでなければならないから、これは矛盾である。

これらのことから、どの場合にも矛盾をきたすので、
$20^{b} + 21^{c} = 2021^{a}$
となる正の整数 $a, b, c$ は存在しないことがわかる。

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = \pm 20$

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 20$
のとき
$2^{a} - 2^{b} \equiv 2 (\mod 3)$
なので $a$ は偶数で $b$ は奇数でなければならない。しかし $20^{b} \equiv - 1 (\mod 7)$ となるので
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} + 20 \equiv - 1 + 20 \equiv 5 (\mod 7)$
より $a \equiv 1 (\mod 6)$ となって矛盾する。

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = - 20$
のとき
$2^{a} - 2^{b} \equiv 1 (\mod 3)$
なので $a$ は奇数で $b$ は偶数でなければならない。しかし $20^{b} \equiv 1 (\mod 7)$ となるので
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} - 20 \equiv 1 - 20 \equiv 2 (\mod 7)$
より $a \equiv 4 (\mod 6)$ となって矛盾する。

これらのことから、 $| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} | = \pm 20$ となる正の整数 $a, b, c$ は存在しない。

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 40$

このとき
$2^{a} - 2^{b} \equiv 1 (\mod 3)$
なので $a$ は奇数で $b$ は偶数でなければならない。よって
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} + 40 \equiv 1 + 5 \equiv 6 (\mod 7)$
だから $a \equiv 3 (\mod 6)$ である。よって
$2021^{a} \equiv 7^{a} \equiv 1 (\mod 19)$
となる。 $20^{b} \equiv 1 (\mod 19)$ は明らかだから
$21^{c} + 40 \equiv 2021^{a} - 20^{b} \equiv 1 - 1 \equiv 0 (\mod 19)$
となるので
$2^{c} \equiv - 40 \equiv - 2 (\mod 19)$
より $c \equiv 10 (\mod 18)$ となる。とくに $c$ は偶数なので $21^{c} \equiv 1 (\mod 8)$ である。しかし $b \geq 2$ なので $21^{c} \equiv 2021^{a} (\mod 8)$ である。さらに $a$ は奇数なので
$21^{c} \equiv 2021^{a} \equiv 5 (\mod 8)$
となり、矛盾する。

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = - 40$

$b = 1$ のとき
$2021^{a} = 21^{c} - 20$
だから
$5^{a} \equiv 1 (\mod 7)$
より $a$ は $6$ の倍数である。よって $2021^{a} \equiv 1 (\mod 9)$ なので
$21^{c} = 2021^{a} + 20 \equiv 21 \equiv 3 (\mod 9)$
より $c = 1$ だから $2021^{a} = - 40 + 20 + 21 = 1$ つまり $a = 0$ となり、 $a$ が正の整数であることに反する。

$b \geq 2$ のとき
$2^{a} - 2^{b} \equiv 2 (\mod 3)$
なので $a$ は偶数で $b$ は奇数でなければならない。
$5^{a} \equiv 2021^{a} \equiv 20^{b} - 40 \equiv - 1 + 2 \equiv 1 (\mod 7)$
より $a$ は $6$ の倍数である。よって $2021^{a} \equiv 7^{a} \equiv 1 (\mod 19)$ より
$2^{c} \equiv 21^{c} \equiv 2021^{a} - 20^{b} + 40 \equiv 1 - 1 + 2 \equiv 2 (\mod 19)$
だから $c \equiv 1 (\mod 18)$ でなければならない。とくに $c$ は奇数なので $21^{c} \equiv 5 (\mod 8)$ である。しかし $b \geq 2$ だから、先程と同様に
$21^{c} \equiv 2021^{a} \equiv 1 (\mod 8)$
となり、矛盾する。

結局、
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = k, k = - 40, - 20, 0, 20, 40$
はいずれも矛盾に至るから、 $| 2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} |$ の最小値は $60$ であることが示された。

投稿日：2021年2月26日

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解
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 0$
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = \pm 20$
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 40$
$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = - 40$

kkkaaa氏の自作問題について

kkkaaa, 自作問題012

解

2021a−20b−21c=0

b=1 のとき

b≥2 のとき

b≥2 かつ a,c がともに偶数のとき

b≥2 かつ a,c がともに奇数のとき

2021a−20b−21c=±20

2021a−20b−21c=40

2021a−20b−21c=−40

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$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 0$

$b = 1$ のとき

$b \geq 2$ のとき

$b \geq 2$ かつ $a, c$ がともに偶数のとき

$b \geq 2$ かつ $a, c$ がともに奇数のとき

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = \pm 20$

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = 40$

$2021^{a} - 20^{b} - 21^{c} = - 40$