ウェーブレット解析の中でも基本的な, 連続ウェーブレット変換について解説します. この記事は, 参考文献にある私のノートから抜粋しました. より詳しい内容や参考文献の詳細はそちらをご覧ください.
ウェーブレットという言葉を皆さん1度は耳にしたことがあると信じていますが, 何をしているのか分からない方は多いでしょう. ウェーブレットはスペルとしてはwaveletと書かれます. waveはもちろん波のことであり, letは小さいものを意味します. もっとも, これはフランス語のondeletteを英訳したときに出来た造語なのですが. ということで, ウェーブレット解析の主役は局在化された波となります.
ウェーブレットが研究され始めたのは1980年代であり, 数学にしては比較的新しい学問だと言えるでしょう. その発見はフランスの石油探査技師であったMorletに遡るのですが, このあたりのお話はあらゆる文献の序文に載っていますので割愛させてもらいます. ただ一言添えるのであれば, Morlet以前にもプロトタイプのウェーブレットは純粋数学や量子論, 工学分野などに存在していました. 分野の壁を壊すには時を待つしかなかったのです.
以上から, ウェーブレット解析とは局在化された波で関数や関数空間を解析する分野であると言えます. モチベーションは大事です.
通常, 周波数と言えばFourier変換を思い浮かべます. 確かに周波数だけを取り出すのであればFourier変換で十分ですが, 周波数が変化した瞬間の時間が特定できないことが欠点でした. その解決策として窓関数を掛けた窓Fourier変換が誕生しました. しかし, 窓関数は不確定性原理の影響を受けてしまいます(ちなみに, 最小不確定性を持つ窓関数であるGauss関数を窓にした場合はGabor変換と呼ばれます). だったら, 最初から伸び縮みする小さな波を積分核にしよう, という発想がウェーブレット変換です. ちなみにウェーブレット変換にも不確定性原理は存在しますが, これは発展的話題です. このように時間と周波数を同時に解析する分野は時間周波数解析や超局所解析と呼ばれます.
さて, 早速定義に参りましょう.
Hilbert空間
で定義する. ここで用いた関数
定義から, マザーウェーブレット
関数
で定義する.
Schwarzの不等式により
有名なウェーブレットを2個だけ紹介しましょう.
マザーウェーブレット
は幅
幅1のメキシカンハットウェーブレット
マザーウェーブレット
はHaarウェーブレットと呼ばれる.
Haarウェーブレット
ウェーブレット変換を視覚的に捉えるために, 数値実験をしてみましょう. サンプル関数として, 以下のチャープ信号を考えます:
すると, 幅
位置情報に関して激しく振動していることが読み取れます. ここで, 縦軸はスケール
関数変換を考えたならば, 逆変換も考えなければいけません. ということで, 逆連続ウェーブレット変換(ICWT)を定義しましょう. そのためにはマザーウェーブレットに対する制限が必要になります.
マザーウェーブレット
で定義する. ここで, 作用素
である.
言わずもがな, Fourier変換には大きく3つの定義があり, どれを用いるかによって微妙な係数ずれが起きてくる. 勘弁してくれ...と言いたい気持ちを抑えつつ, 文献で用いられているFourier変換の定義を最初に確認しておこう.
次の関係式は単位の分解と呼ばれる.
許容条件を満たすマザーウェーブレット
Plancherelの定理から, CWTは
と表せられるので,
さらに, Fubiniの定理とPlancherelの定理より,
またFubiniの定理によって
を得る.
直ちに次の結論を得ます.
弱収束の意味で以下の再生公式が成り立つ:
内積の連続性より,
が成り立つので明らか.
ICWTに出てきた測度
についての解釈の1つとしてHaar測度があります. 表現論の言葉を借りると, ウェーブレットは
実は強い意味でも等式が成り立ちます, 気が乗ったら証明してみてください.