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大学数学基礎解説
文献あり

連続ウェーブレット変換

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連続ウェーブレット変換

ウェーブレット解析の中でも基本的な, 連続ウェーブレット変換について解説します. この記事は, 参考文献にある私のノートから抜粋しました. より詳しい内容や参考文献の詳細はそちらをご覧ください.

What is a wavelet?

ウェーブレットという言葉を皆さん1度は耳にしたことがあると信じていますが, 何をしているのか分からない方は多いでしょう. ウェーブレットはスペルとしてはwaveletと書かれます. waveはもちろん波のことであり, letは小さいものを意味します. もっとも, これはフランス語のondeletteを英訳したときに出来た造語なのですが. ということで, ウェーブレット解析の主役は局在化された波となります.

ウェーブレットが研究され始めたのは1980年代であり, 数学にしては比較的新しい学問だと言えるでしょう. その発見はフランスの石油探査技師であったMorletに遡るのですが, このあたりのお話はあらゆる文献の序文に載っていますので割愛させてもらいます. ただ一言添えるのであれば, Morlet以前にもプロトタイプのウェーブレットは純粋数学や量子論, 工学分野などに存在していました. 分野の壁を壊すには時を待つしかなかったのです.

以上から, ウェーブレット解析とは局在化された波で関数や関数空間を解析する分野であると言えます. モチベーションは大事です.

時間周波数解析としてのウェーブレット解析

通常, 周波数と言えばFourier変換を思い浮かべます. 確かに周波数だけを取り出すのであればFourier変換で十分ですが, 周波数が変化した瞬間の時間が特定できないことが欠点でした. その解決策として窓関数を掛けた窓Fourier変換が誕生しました. しかし, 窓関数は不確定性原理の影響を受けてしまいます(ちなみに, 最小不確定性を持つ窓関数であるGauss関数を窓にした場合はGabor変換と呼ばれます). だったら, 最初から伸び縮みする小さな波を積分核にしよう, という発想がウェーブレット変換です. ちなみにウェーブレット変換にも不確定性原理は存在しますが, これは発展的話題です. このように時間と周波数を同時に解析する分野は時間周波数解析超局所解析と呼ばれます.

さて, 早速定義に参りましょう.

連続ウェーブレット変換

ウェーブレット

Hilbert空間L2(R)の関数ψに対し, ウェーブレット
ψab(x)=1|a|ψ(xba),aR, bR
で定義する. ここで用いた関数ψは特にマザーウェーブレットと呼ばれる.

定義から, マザーウェーブレットψを伸張パラメーターaと平行移動パラメーターbによって相似変形していることが分かりますね. 気になるのが係数ですが, これはL2正規化ψabL2=ψL2のためであり, 通常はψL2=1と正規化されます.

連続ウェーブレット変換

関数fL2(R)に対し, マザーウェーブレットψによる連続ウェーブレット変換(CWT)
Wψ[f](a,b)=f,ψab=Rf(x)ψab(x)dx
で定義する.

Schwarzの不等式により|Wψ[f](a,b)|fL2であるので, CWTは有界作用素です.

有名なウェーブレットを2個だけ紹介しましょう.

メキシカンハットウェーブレット

マザーウェーブレット
ψσ(x)=2π1/43σ(1x2σ2)ex22σ2
は幅σ>0メキシカンハットウェーブレットと呼ばれる.

幅1のメキシカンハットウェーブレット 幅1のメキシカンハットウェーブレット

Haarウェーブレット

マザーウェーブレット
ψ(x)={10x<1/211/2x<1
Haarウェーブレットと呼ばれる.

Haarウェーブレット Haarウェーブレット

ウェーブレット変換を視覚的に捉えるために, 数値実験をしてみましょう. サンプル関数として, 以下のチャープ信号を考えます:

!FORMULA[17][852623417][0] f(x)=sin(x2) 0x10

すると, 幅1のメキシカンハットウェーブレットを用いたfのCWT結果は以下になります(サンプル点数10000):

!FORMULA[21][37794][0]のCWT結果の絶対値プロット fのCWT結果の絶対値プロット

位置情報に関して激しく振動していることが読み取れます. ここで, 縦軸はスケールaですが, 通常の座標軸と大小が逆転していることに注意してください. このように配置している理由は分野や趣味による影響が大きいのでしょうが, 逆スケール1/aが周波数成分に対応しているという事実からも来ています. 総合して, fの情報が視覚的に解析できました. このようなCWTの絶対値プロットをスケーログラムと呼びます.

逆連続ウェーブレット変換

関数変換を考えたならば, 逆変換も考えなければいけません. ということで, 逆連続ウェーブレット変換(ICWT)を定義しましょう. そのためにはマザーウェーブレットに対する制限が必要になります.

許容条件

マザーウェーブレットψ許容条件を満たすということを
Cψ=R|F[ψ](ξ)|2|ξ|dξ<
で定義する. ここで, 作用素Fは1次元のFourier変換
F[f](ξ)=f^(ξ)=Rf(x)eixξdx
である.

Fourier変換の定義による混乱

言わずもがな, Fourier変換には大きく3つの定義があり, どれを用いるかによって微妙な係数ずれが起きてくる. 勘弁してくれ...と言いたい気持ちを抑えつつ, 文献で用いられているFourier変換の定義を最初に確認しておこう.

次の関係式は単位の分解と呼ばれる.

単位の分解

許容条件を満たすマザーウェーブレットψに対し, 任意のf,gL2(R)は以下を満たす:
1CψR2Wψ[f](a,b)Wψ[g](a,b)daa2db=f,gL2.

Plancherelの定理から, CWTは
Wψ[f](a,b)=12πRf^(ξ)|a|12eibξψ^(aξ)dξ
と表せられるので,
I:=1CψR2Wψ[f](a,b)Wψ[g](a,b)daa2db=14π2CψR2(Rf^(ξ)|a|12eibξψ^(aξ)dξ)(Rg^(ξ)|a|12eibξψ^(aξ)dξ)daa2db.
さらに, Fubiniの定理とPlancherelの定理より,
I=1CψRdaa2{RFξb1[f^(ξ)|a|12ψ^(aξ)](b)Fξb1[g^(ξ)|a|12ψ^(aξ)](b)db}=12πCψRda|a|Rf^(ξ)ψ^(aξ)g^(ξ)ψ^(aξ)dξ.
またFubiniの定理によってaに関してから積分し, aξaの変数変換で,
I=12πCψRf^(ξ)g^(ξ)dξR|ψ^(aξ)|2|a|da=12πCψR|ψ^(a)|2|a|daRf^(ξ)g^(ξ)dξ=12πRf^(ξ)g^(ξ)dξ=f,gL2
を得る.

直ちに次の結論を得ます.

弱収束の意味で以下の再生公式が成り立つ:
f=1CψR2Wψ[f](a,b)ψabdaa2db.

内積の連続性より,
f,g=1CψR2Wψ[f](a,b)ψa,bdaa2db,g
が成り立つので明らか.

ICWTの測度

ICWTに出てきた測度
dμ=daa2db
についての解釈の1つとしてHaar測度があります. 表現論の言葉を借りると, ウェーブレットはax+b群のユニタリー表現ψψabとして見ることができます. そして, 測度dμax+b群の左Haar測度になっています. ここら辺の話題は抽象調和解析の主要テーマです.

実は強い意味でも等式が成り立ちます, 気が乗ったら証明してみてください.

参考文献

[2]
Ingrid Daubechies (山田道夫, 佐々木文夫 訳), ウェーブレット10講 (Ten Lectures on Wavelets), 丸善出版, 2012
投稿日:2021226
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