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おぼえがき「確率測度の弱収束の一意性について」

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注意

この記事は筆者のおぼえがきです。

確率測度の弱収束

以下特に断らない限り $E = (E, d)$ は距離空間で、 $B (E)$ を $E$ のBorel集合族、 $O_{E}$ を $E$ の開集合族、 $C_{E}$ を $E$ の閉集合族とします。（なお、ここでの開集合とは距離 $d$ により定まる近傍によって決まるふっつうの開集合です。深読みはしないでください。）

弱収束

Borel確率測度の列 ${μ_{n}}$ がBorel確率測度 $μ$ に弱収束するとは、任意の $E$ 上で有界連続な関数 $f$ に対して
$lim_{n \to \infty} \int_{E} f (x) d μ_{n} (x) = \int_{E} f (x) d μ (x)$
が成り立つことをいう。

はい、というわけで定義はこれです。で、これは極限なのでもちろん極限値にあたる $μ$ は一意であってほしいですね。つまりもしもう一つ $ν$ なんて確率測度があったとしたら

$\int_{E} f (x) d μ (x) = \int_{E} f (x) d ν (x)$

となるわけですが、そのとき本当に $μ = ν$ になるのか？というのがお恥ずかしながら、考えてもわからなかったので学びなおして今に至ります。

今回のテーマはこれです。というわけでこれを示します。これには以下の定理を用います。

$μ$ を $E$ 上のBorel確率測度とするとき、
$μ (B) = inf {μ (G) ∣ G \in O_{E}, B \subset G} = sup {μ (F) ∣ F \in C_{E}, F \subset B}$
が成り立つ。

証明はBorel測度の最小性を使う測度論ではなじみの深い論法です。
さて、いきなりですが $B^{'}$ を
$B^{'} = {B \in B (E) ∣ \forall ε > 0, \exists G \in O_{E}, \exists F \in C_{E}; F \subset B \subset G, μ (G ∖ F) < ε}$
とおきます。いわゆる正則性というやつですね。（これは確かめてないのであまり深く考えないのでほしいのですが、たぶん確率測度でなくても $E$ が $σ$ -有限とかなら成り立ちそうだなとぱっと見思いました。）

まあそれはさておき、 $B^{'} = B (E)$ を示すには $B^{'}$ が $O_{E} \subset B^{'}$ を満たす $σ$ -加法族であることを示します。これを示すと $B^{'} = B (E)$ が示せます。

まず、 $σ$ -加法族であることを示しましょう。 $\emptyset, E \in B$ となることは $\emptyset, E$ が閉かつ開であることから明らかです。
また $B \in B^{'}$ ならば任意の $ε > 0$ に対して $F \subset B \subset G, μ (G ∖ F) < ε$ となる $F, G$ が存在します。このとき $G^{c} \subset B^{c} \subset F^{c}$ であって
$μ (F^{c} ∖ G^{c}) = μ (G ∖ F^{c}) < ε$
なので $B^{c} \in B^{'}$ となります。

最後に完全加法性ですが、 ${B_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset B^{'}$ に対して
$F_{n} \subset B_{n} \subset G_{n}, μ (G_{n} ∖ F_{n}) < ε / 2^{n}$ となる $F_{n}, G_{n}$ が存在します。そこで
$F = ⋃_{n = 1}^{\infty} F_{n}, G = ⋃_{n = 1}^{\infty} G_{n}$
とおけば $B = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}$ に対して
$F \subset B \subset G, μ (G ∖ F) < ε$
が成り立ちます。よって $B \in B^{'}$ となり $σ$ -加法族であることがわかりました。

次に $O_{E} \subset B^{'}$ を示します。 $O \in O_{E}$ とします。このとき、 $n \in N$ に対し
$C_{n} = {x \in E | d (x, O^{c}) \geq \frac{1}{n}}, d (x, O^{c}) = inf {d (x, y) ∣ y \in O^{c}}$
と定めると、 $d (x, O^{c})$ の連続性より $C_{n}$ は閉集合となります。

また、明らかに ${F_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ は単調増加で
$O = ⋃_{n = 1}^{\infty} C_{n}$
となるので、測度の連続性より
$lim_{n \to \infty} μ (F_{n}) = μ (O)$
が得られます。これより特に $C_{n} \subset O \subset O$ かつ $μ (O ∖ C_{n}) < ε$ となる $C_{n}$ が存在するので $O \in B^{'}$ となります。ゆえに $B^{'} = B (E)$ がわかります。

さて、これがわかれば結論は簡単で、 $A \subset G$ ならば $μ (B) \leq μ (G)$ となるため $μ (B)$ は真ん中の式以下です。他方、正則性から
$A \subset G$ かつ $μ (G ∖ A) < ε$ となるので、 $μ$ が確率測度、つまり有限測度であることに注意すると
$μ (G) \leq μ (A) + ε$
となり最初の等式が示せます。３つも同様なのでこれで証明はおわります。
（証明終了）

これによって今回の話が示せます。

$μ, ν$ をBorel確率測度とするとき、 $E$ 上有界連続な任意の $f$ に対して

$\int_{E} f (x) d μ (x) = \int_{E} f (x) d ν (x)$
ならば $μ = ν$ である。

結論から言うと、 $μ (F) = ν (F), F \in C_{E}$ を示せば十分です。なぜなら、定理1の閉集合の表現を使えば一般の場合は成り立つからです。

というわけで $F \in C_{E}$ について示すこととします。さて、問題は与えられている仮定をどう使うかにあります。積分の定義より $χ_{A}$ を集合 $A$ の定義関数とするとき

$μ (F) = \int_{F} χ_{F} (x) d μ (x)$
でした。なので気持ち的にはこいつをもってきたいところです。しかし、定義関数は有界ではあるものの、一般に連続とは限りません。そこで連続関数のうまい近似を取る必要があるわけですね。

さて、ここで登場するのがまたもや点と集合の距離です。こいつがまたいい仕事をします。さて、 $n \in N$ を

$F_{n} = {x \in E | d (x, F) \geq \frac{1}{n}}$
とします。そしてこのとき、

$f_{n} (x) = \frac{d (x, F_{n})}{d (x, F) + d (x, F_{n})}$
と定義すると $0 \leq f (x) \leq 1$ であって、 $x \in F$ のとき $f (x) = 1$ であり、 $x \in F_{n}$ のとき $f (x) = 0$ となります。いい感じに分離してますね。さて、 $d (x, F), d (x, F_{n})$ はともに連続なので $f_{n}$ も連続であり、 $x \in F^{c}$ ならばある自然数 $n$ が存在して $x \in F_{n}$ となるので

$lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = χ_{F} (x)$
であることがわかります。したがって、Lebesgueの優収束定理より
$μ (F) = lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) d μ (x) = lim_{n \to \infty} \int f_{n} (x) d ν (x) = ν (F)$
となるので、証明が終わります。
（証明終了）