この記事は筆者のおぼえがきです。
以下特に断らない限り$E=(E, d)$は距離空間で、$\mathcal{B}(E)$を$E$のBorel集合族、$\mathcal{O}_E$を$E$の開集合族、$\mathcal{C}_E$を$E$の閉集合族とします。（なお、ここでの開集合とは距離$d$により定まる近傍によって決まるふっつうの開集合です。深読みはしないでください。）
Borel確率測度の列$\{\mu_n\}$がBorel確率測度$\mu$に弱収束するとは、任意の$E$上で有界連続な関数$f$に対して
$$\lim_{n\to\infty}\int_Ef(x)\ d\mu_n(x)=\int_Ef(x)\ d\mu(x)$$
が成り立つことをいう。
はい、というわけで定義はこれです。で、これは極限なのでもちろん極限値にあたる$\mu$は一意であってほしいですね。つまりもしもう一つ$\nu$なんて確率測度があったとしたら
$$\int_Ef(x)\ d\mu(x)= \int_Ef(x)\ d\nu(x)$$
となるわけですが、そのとき本当に$\mu=\nu$になるのか？というのがお恥ずかしながら、考えてもわからなかったので学びなおして今に至ります。
今回のテーマはこれです。というわけでこれを示します。これには以下の定理を用います。
$\mu$を$E$上のBorel確率測度とするとき、
$$\mu(B)=\inf\{\mu(G)\mid G\in\mathcal{O}_E,\ B\subset G\}=\sup\{\mu(F)\mid F\in\mathcal{C}_E,\ F\subset B\}$$
が成り立つ。
証明はBorel測度の最小性を使う測度論ではなじみの深い論法です。
さて、いきなりですが$\mathcal{B}'$を
$$\mathcal{B}'=\{B\in\mathcal{B}(E)\mid \forall\varepsilon>0,\ \exists G\in\mathcal{O}_E, \exists F\in\mathcal{C}_E;\ F\subset B\subset G,\ \mu(G\setminus F)<\varepsilon\}$$
とおきます。いわゆる正則性というやつですね。（これは確かめてないのであまり深く考えないのでほしいのですが、たぶん確率測度でなくても$E$が$\sigma$-有限とかなら成り立ちそうだなとぱっと見思いました。）
まあそれはさておき、$\mathcal{B}'=\mathcal{B}(E)$を示すには$\mathcal{B}'$が$\mathcal{O}_E\subset \mathcal{B}'$を満たす$\sigma$-加法族であることを示します。これを示すと$\mathcal{B}'=\mathcal{B}(E)$が示せます。
まず、$\sigma$-加法族であることを示しましょう。$\emptyset, E\in B$となることは$\emptyset,\ E$が閉かつ開であることから明らかです。
また$B\in\mathcal{B}'$ならば 任意の$\varepsilon>0$に対して$F\subset B\subset G,\ \mu(G\setminus F)<\varepsilon$となる$F, G$が存在します。このとき$G^c\subset B^c\subset F^c$であって
$$\mu(F^c\setminus G^c)=\mu(G\setminus F^c)<\varepsilon$$
なので$B^c\in \mathcal{B}'$となります。
最後に完全加法性ですが、$\{B_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{B}'$に対して
$$F_n\subset B_n\subset G_n,\ \mu(G_n\setminus F_n)<\varepsilon/2^n$$となる$F_n,\ G_n$が存在します。そこで
$$F=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,\ G=\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n$$
とおけば$B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$に対して
$$F\subset B\subset G,\ \mu(G\setminus F)<\varepsilon$$
が成り立ちます。よって$B\in\mathcal{B}'$となり$\sigma$-加法族であることがわかりました。
次に$\mathcal{O}_E\subset\mathcal{B}'$を示します。$O\in\mathcal{O}_E$とします。このとき、$n\in\mathbb{N}$に対し
$$C_n=\left\{x\in E\middle| d(x, O^c)\geq \frac{1}{n}\right\},\ d(x, O^c)=\inf\{d(x, y)\mid y\in O^c\}$$
と定めると、$d(x, O^c)$の連続性より$C_n$は閉集合となります。
また、明らかに$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$は単調増加で
$$O=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n$$
となるので、測度の連続性より
$$\lim_{n\to\infty}\mu(F_n)=\mu(O)$$
が得られます。これより特に$C_n\subset O\subset O$かつ$\mu(O\setminus C_n)<\varepsilon$となる$C_n$が存在するので$O\in\mathcal{B}'$となります。ゆえに$\mathcal{B}'=\mathcal{B}(E)$がわかります。
さて、これがわかれば結論は簡単で、$A\subset G$ならば$\mu(B)\leq \mu(G)$となるため$\mu(B)$は真ん中の式以下です。他方、正則性から
$A\subset G$かつ$\mu(G\setminus A)<\varepsilon$となるので、$\mu$が確率測度、つまり有限測度であることに注意すると
$$\mu(G)\leq \mu(A)+\varepsilon$$
となり最初の等式が示せます。３つも同様なのでこれで証明はおわります。
（証明終了）
これによって今回の話が示せます。
$\mu, \nu$をBorel確率測度とするとき、$E$上有界連続な任意の$f$に対して
$$\int_Ef(x)\ d\mu(x)=\int_Ef(x)\ d\nu(x)$$
ならば$\mu=\nu$である。
結論から言うと、$\mu(F)=\nu(F),\ F\in\mathcal{C}_E$を示せば十分です。 なぜなら、定理1の閉集合の表現を使えば一般の場合は成り立つからです。
というわけで$F\in\mathcal{C}_E$について示すこととします。さて、問題は与えられている仮定をどう使うかにあります。積分の定義より$\chi_A$を集合$A$の定義関数とするとき
$$\mu(F)=\int_F\chi_F(x)\ d\mu(x)$$
でした。なので気持ち的にはこいつをもってきたいところです。しかし、定義関数は有界ではあるものの、一般に連続とは限りません。そこで連続関数のうまい近似を取る必要があるわけですね。
さて、ここで登場するのがまたもや点と集合の距離です。こいつがまたいい仕事をします。さて、$n\in\mathbb{N}$を
$$F_n=\left\{x\in E\middle| d(x, F)\geq \frac{1}{n}\right\}$$
とします。そしてこのとき、
$$f_n(x)=\frac{d(x, F_n)}{d(x,F)+d(x, F_n)}$$
と定義すると$0\leq f(x)\leq 1$であって、$x\in F$のとき$f(x)=1$であり、$x\in F_n$のとき$f(x)=0$となります。いい感じに分離してますね。さて、$d(x, F), d(x, F_n)$はともに連続なので$f_n$も連続であり、$x\in F^c$ならばある自然数$n$が存在して$x\in F_n$となるので
$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\chi_F(x)$$
であることがわかります。したがって、Lebesgueの優収束定理より
$$\mu(F)=\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\ d\mu(x)=\lim_{n\to\infty}\int f_n(x)\ d\nu(x)=\nu(F)$$
となるので、証明が終わります。
（証明終了）
とまあこんな感じで言われてみれば大したこともないですが、案外ぱっとは分からなくてちょっと悔しかったです。
測度論を手足のように使えるになりたいですね。
ではおわります。またいつか。