|2021^a-20^b-21^c|の最小値を求める

$k=2021^a-20^b-21^c$とおく.
$(a,b,c)=(2,2,5)$のとき, $|k|=60$である.
$|k|$の最小値が$60$であることを示す.
$k=|2021^a-20^b-21^c|\equiv 0 \pmod{20}$より, $k=0, \pm20, \pm40$のそれぞれについて, 条件をみたす正整数$(a, b, c)$が存在しないことを示せば十分である.
いずれの場合も条件をみたす正整数$(a, b, c)$が存在すると仮定する.

1. $k=0$のとき
   $2021^a-20^b-21^c=0$である.
   $2021^a \equiv 20^b \pmod7$より$a$は$3$の倍数である.
   しかし, これは$21^c=2021^a-20^b$が$19$の倍数になることに矛盾する.

2. $k=20$のとき
   $2021^a-20^b-21^c=20$である.
   $2021^a\equiv20^b-1 \pmod3$より$a$は偶数である.
   しかし, これは$2021^a+1 \equiv 20^b \pmod7$に矛盾する.

3. $k=-20$のとき
   $2021^a-20^b-21^c=-20$である.
   $2021^a\equiv20^b+1 \pmod3$より$a$は奇数である.
   しかし, これは$2021^a-1 \equiv 20^b \pmod7$に矛盾する.

4. $k=40$のとき
   $2021^a-20^b-21^c=40$である.
   $2021^a\equiv20^b+1 \pmod3$より$a$は奇数, $b$は$2$以上である.
   $2021^a+2 \equiv 20^b \pmod7$より$a$は$3$の倍数である.
   $21^c\equiv -2 \pmod{19}$より$c \equiv 10 \pmod{18}$.
   しかし, これは$2021^a\equiv21^c\pmod8$に矛盾する.

5. $k=-40$のとき
   $2021^a-20^b-21^c=-40$である.
   $2021^a\equiv20^b-1 \pmod3$より$a$は偶数である.
   $2021^a-2 \equiv 20^b \pmod7$より$a$は$3$の倍数である.
   $21^c\equiv 2 \pmod{19}$より$c \equiv 1 \pmod{18}$.
   よって, $2021^a-21^c\equiv20^b\pmod8$より$b=1$.
   ゆえに, $2021^a+2\equiv21^c\pmod9$より, $c=1$であるが, $2021^a=1$となるため矛盾する.

したがって$|k|$の最小値が$60$であることが示された. (証明終)

• $2021^a-20^b-21^c=60$のとき

$2021^a+3\equiv20^b\pmod{21}$より, $a\equiv5\pmod6$かつ$b$は奇数である.
$21^c\equiv2021^a-4\equiv7\pmod{19}$であるため, $c\equiv6\pmod{18}$.
$c$が$2$以上であるため, $20^b\equiv5\pmod9$より$b\equiv5\pmod6$.
$2021^a-20^b-21^c\equiv8\pmod{13}$より, $a\equiv11\pmod{12}$, $c\equiv2\pmod4$.
しかし, これは$2021^a-21^c\equiv12\pmod{16}$に矛盾する.

• $2021^a-20^b-21^c=-60$のとき

$2021^a-3\equiv20^b\pmod{21}$より, $a\equiv2\pmod6$かつ$b$は偶数である.
$21^c\equiv13\pmod{19}$であるため, $c\equiv5\pmod{18}$.
$20^b\equiv4\pmod9$であるため, $b\equiv2\pmod6$.
$2021^a-20^b-21^c\equiv5\pmod{13}$より, $a\equiv b\pmod{12}$, $c\equiv1\pmod4$.
$b$が$2$以上であるため, $2021^a-21^c\equiv4\pmod{16}$より, $a\equiv2\pmod4$.
$2021^a-20^b\equiv-5\pmod{17}$より, $a\equiv2\pmod8$かつ$b\equiv2\pmod{16}$.
ここで$2< b$と仮定する.
$21^c\equiv21\pmod {32}$より, $c\equiv1\pmod8$.
ここまでの議論より, $a\equiv2\pmod{24}$, $b\equiv2\pmod{48}$, $c\equiv17\pmod{24}$である.
Fermatの小定理より$2021^{24}\equiv(-16)^{24}\equiv2^{96}\equiv1\pmod{97}$より, $2021^a\equiv62\pmod{97}$.
Fermatの小定理より$20^{96}\equiv1\pmod{97}$であるため, $20^{48}\equiv\pm1\pmod{97}$より, $20^b\equiv\pm12\pmod{97}$.
(実際には$20^{48}\equiv-1\pmod{97}$. )
$21^{24}\equiv22\pmod{97}$より, $21^c\equiv\pm29, \pm41\pmod{97}$.
しかし, これらは$2021^a-20^b-21^c\equiv-60\pmod{97}$に矛盾.
ゆえに$b=2$であり, $2021^a-21^c=340=2021^2-21^5$.
$\bmod{243}$での$2021$の位数, すなわち$2021^d\equiv1\pmod{243}$となる最小の正整数$d$を考える. 明らかに$d$は偶数である必要がある.
LTEの補題より$v_3(2021^d-1)=v_3((2021^2)^{\tfrac{d}{2}}-1)=v_3(2021^2-1)+v_3\left(\cfrac{d}{2}\right)$より, $d=162$.
($v_3(n)$は$n$が$3$で割り切れる回数を表す. )
$2021^a\equiv2021^2\pmod{243}$で, $a\equiv2\pmod{162}$.
Fermatの小定理より$2021^a\equiv2021^2\pmod{163}$.
よって$21^c\equiv21^5\pmod{163}$.
$\bmod{163}$での$21$の位数は$27$であるため, $c\equiv5\pmod{27}$である. ($162$の約数のみを調べればよい. )
$a\equiv2\pmod{162}$, $c\equiv5\pmod{54}$より, (頑張って計算すると)
$$2021^a\equiv459, 322, 193\pmod{487}$$
$$21^c\equiv119, 369, 338, 336, 383, 9, 32, 222, 140\pmod{487}$$
よって, $a\equiv2\pmod{486}$, $c\equiv5\pmod{486}$.
Eulerの定理より$2021^{486}\equiv1\pmod{729}$.
よって$21^c\equiv21^5\pmod{729}$であるため$c=5$となり, $a=2$が決定される.

したがって$(a, b, c)=(2, 2, 5)$のみが条件をみたすことが示された. (証明終)